«Помню, как однажды Шатуновский задал студенту вопрос: «Если Вы умножите пять извозчиков на три подсвечника, то что получится? Студент замешкался и не ответил. «Так вот, — сказал Шатуновский, — будет пятнадцать извозчико-подсвечников». Это было мое первое знакомство с основной идеей анализа размерностей и повлияло на мою будущую работу в науке.
Г. Гамов "Моя мировая линия"
Откуда физики берут свои формулы? Почему кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости на массу, ток пропорционален напряжению, а период малых колебаний маятника это корень из длины маятника на ускорение свободного падения? Часто, формулы можно "угадать" используя анализ размерностей.
Основой анализа размерностей является два факта. Первое - нельзя приравнять сколько-то килограмм скольки-нибудь метрам, правильная формула должна содержать величины одинаковых размерностей справа и слева! Второе - формула должна содержать разные физические величины, существенные для задачи. Посмотрим на примере как это работает, в очередной раз вернемся в античность, к древним водяным часам клепсидра.
Вода – измеритель. Водяные часы использовались в Греции, Риме, для измерения. Водные часы по структуре напоминали песочные. Вот из глубокой древности дошло до нас выражение «Ваше время истекло». Водные часы «Клепсидра». Цит. «Профессия воды»\\ Гушко Алина, Турова Елена Николаевна\ РАЙОННАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ» — Абан — 2018.
Представим себе Клепсидру в виде цилиндрического ведра (площадь сечения S м^2) с водой (плотность воды ρ кг/м^3). На дне ведра находится дырка площади σ, м^2. На старте высота столба воды равна h м. За какое время вся вода вытечет из ведра? Такая вот задачка из начального курса дифференциальных уравнений. Но, не пугайся, читатель! Мы справимся только лишь алгеброй. Стало быть, нам нужно найти формулу, в которой выполняется равенство
Время = Алгебраическое выражение от (плотности воды, высоты воды, площади ведра и дырки, что-то еще важное).
Слева стоят Секунды, справа тоже должны быть секунды! Значит, мы забыли что-то важное, так как плотности воды, высоты воды, площади ведра и дырки совсем не содержат секунд. Ну правильно! Вода же вытекает под действием силы тяжести! Значит что-то важное это ускорение свободного падения g м/c^2.
Теперь делай раз: пусть ответ вот такой t=(S^a)*(σ^b)*(h^c)*(g^d)(ρ^f). Просто взяли и перемножили все физические величины которые могут появиться в задаче, и возвели их все в неизвестные пока степени. Почему перемножили? У нас есть два варианта - перемножать и складывать. Складывать величины разной резмерности нельзя совсем. Остается только перемножать.
Теперь делай два: считай размерность физической величины справа и слева. Слева c^1, кг^0, м^0, а справа с^(-2d), кг^f, м^(2a+2b+c+d-3f). Сравниваем и приравниваем лево и право, тогда d=-1/2, f=0 , без вариантов. А вот как в формулу входят высота и две площади - это творческая задача. Точно должно быть 2a+2b+c-1/2=0, но тут три неизвестных и всего одно уравнение. Тогда на помощь нам придет теория подобия - можно попробовать пропорционально изменить какие-то величины входящие в задачу и посмотреть как меняется ответ. В данном случае можно рассуждать так. Возьмем два одинаковых ведра с водой на одном уровне и с одинаковыми дырочками на дне. Понятно, что время за которое вода освободит две емкости будет точно такое же как и одну. То есть время истечения зависит только от отношения (S/σ), это значит что а=-b, а большего нам сказать пока не дано.
Но тогда c=1/2 и окончательно мы находим ответ для задачи в виде формулы t=f(S/σ)*(h/g)^(1/2).
В отдельный множитель f(S/σ) мы вынесли неопределившуюся зависимость от отношения площадей цилиндра и отверстия. Кстати, мы точно знаем, что если σ=0 (или очень маленькое), то вода не будет вытекать (значит время истечения станет бесконечным или очень большим). Кроме того, как правило σ<<S, отсюда, приближенно можем заменить f(S/σ)~αS/σ.
Бинго! Мы много выяснили! Например, при увеличении уровня воды в ведре в два раза, время опустошения увеличится в 1.41 раз. Анализ размерностей позволяет предугадывать ответы, избегать ошибок и вообще, разбивать сложные формулы на простые кусочки понимания - а если вот эта штука в два раза увеличится, что произойдет с ответом?