Начнем, как обычно, с «детского» вопроса: «Что означает фраза: длина данного объекта, геометрическим референтом которого пусть служит соответствующий отрезок, равна <ℓ>?». То, что в данный момент времени (то есть сейчас) на всей его протяженности укладывается выражаемое числом <ℓ> количество единиц длины. Когда же мы говорим, что длительность некоторого процесса, происходящего с объектом, равна <τ>, это значит, что от начала процесса до его окончания в данном месте пространства, занимаемом объектом (то есть здесь), сменилось определенное количество единиц длительности, выражаемое числом <τ>.
Вроде бы все так, но, тем не менее, возникает смутное ощущение принципиального различия между единицами длины, которые в один и тот же момент времени (Δt = τ2 – τ1 = 0) располагаются в пространстве все сразу - одна рядом с другой, и единицами длительности, которые сменяют одна другую в том же самом месте пространства (Δx = x2 – x1 = 0) то есть, следуют одна после другой во времени.
На первый взгляд, кажется, что столь существенное различие величин <ℓ> и <τ> на физическом уровне не получило должного отражения в их математическом выражении. Как длину, так и длительность выражают числами одного типа - действительными числами. Однако последнее утверждение равносильно признанию тождественности времени пространству, и наоборот, что совершенно не соответствует реальности.
Поскольку противоположностью действительных чисел являются мнимые числа, расширяющие множество действительных чисел R до множества комплексных чисел C, постольку именно мнимые числа имеют полное право претендовать на то, чтобы выражать длительность тех или иных процессов, происходящих с объектами, размер которых и расстояния между ними выражают действительные числа.
Подобно тому, как геометрическим образом действительных чисел служат точки действительной числовой прямой, множество мнимых чисел отображается на множество точек мнимой числовой прямой. Каждой из указанных числовых прямых можно поставить в соответствие оси декартовой системы координат.
Пары ортогональных друг другу действительных осей координат задают соответствующую координатную плоскость (XOY, XOZ или YOZ), обладающую всеми свойствами чувственно воспринимаемой евклидовой плоскости.
Если же одна из осей является мнимой, а другая действительной, как это оказывается в 4-хмерном мире Минковского, координатные плоскости становятся псевдоевклидовыми. Они сохраняют прежними только линейные свойства евклидовых плоскостей, обретая при этом совершенно иные метрические свойства. В мире Минковского, роль мнимой числовой прямой досталась временной оси координат (OT).
Более двух тысяч лет назад, переход от линии (оси абсцисс или ординат) к плоскости (например, XOY) привел к обнаружению иррациональных чисел, породив заодно и проблему выяснения их реальности. Дело в том, процедура измерения длин показала, что существуют такие объекты, размеры которых несоизмеримы с зафиксированной в множестве рациональных чисел Q единицей длины. То есть отношение длин некоторых отрезков и не параллельного им отрезка, длина которого принята за единицу измерения, не может быть выражено никаким отношением целых чисел, а значит, оно не является рациональным числом.
Классический и прекрасно всем известный пример подобной несоизмеримости, которую назовем несоизмеримостью первого рода, это когда отношение длины диагонали квадрата OGKF (OK = OE = √2) к длине его стороны равной единице (OF = OG = 1) не является рациональным числом:
Обнаружение чисел, не являющихся рациональными, а значит обозначающих нечто «потустороннее» (иррациональное, не поддающееся чувственному восприятию и разумному истолкованию), обычно, приписывают Пифагору.
А вот оригинальный способ примирения с открытием несоизмеримости отрезков нашел уже другой древнегреческий мыслитель Евдокс, некогда бывший учеником Платона.
Что предложил Евдокс? Сейчас можно лишь догадываться о том, как он рассуждал, но скорее всего, этот замечательный древнегреческий геометр мыслил следующим образом: пусть диагональ такого «единичного» квадрата, длина которой равна иррациональному числу (OK= √2), способна вращаться относительно точки O подобно твердому стержню. Тогда эта диагональ, совместившись с числовой прямой на оси координат OX, выявит на ней реально существующую, однозначно определенную точку E, которая не соответствует никакому рациональному числу.
Иначе говоря, Евдокс остроумно продемонстрировал то, что на самом деле, множество рациональных чисел Q не является плотным, а содержит «пустоты», тогда как прямой линии обычно приписывают непрерывность, то есть отсутствие просветов. На деле же оказалось, что на любом отрезке числовой прямой имеется бесконечно много таких точек, которые не являются геометрическими образами рациональных чисел. Вот эти то «пустоты» как раз и заполняют иррациональные числа, расширяя множество рациональных чисел Q до множества действительных чисел R.
Одним словом, Евдоксу удалось «втиснуть» в числовую прямую, считавшуюся заполненной под завязку рациональными числами, еще и иррациональные числа. И самое главное, последние не только нашлись на действительной числовой прямой, но и проявили свой физический смысл - тот же смысл, каким обладают рациональные числа, выражая размеры объектов и расстояния между ними в пространстве.
Выясним теперь, к чему может привести выход на неевклидову плоскость пространства-времени Минковского (например, плоскость XOT). Вообще говоря, велик соблазн предположить, что с открытием мнимых чисел связано выявление еще одного типа несоизмеримости, которую можно назвать несоизмеримостью второго рода. Известно, что эти числа появились как результат решения некоторых квадратных уравнений, требовавшего извлечения квадратного корня из отрицательного числа. То есть оказалось, что в реальности существуют такие параметры объектов, числовое выражение которых несоизмеримо с зафиксированной в множестве действительных чисел R единицей длины. Возможно, что к подобным параметрам, как раз, и относится длительность интервалов времени между последовательными проявлениями объектами факта своего существования. Другими словами, отношение длины интервала между событиями в пространстве-времени и длины отрезка в пространстве, принятой за единицу измерения, не может быть выражено никаким отношением рациональных чисел, а значит, оно не является действительным числом.
Проверим это предположение, но прежде чем двигаться дальше, совершим небольшой экскурс в прошлое. Давным-давно, прохладным осенним утром
16 октября 1843 года, во время прогулки по Дублину, на подходе к Брумскому мосту великого ирландского математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона настигло озарение. Он вдруг понял, что при переходе от пар чисел на плоскости, с которыми сопоставлялись комплексные числа, к набору чисел в пространстве, надо оперировать не тройками, как того требовала трехмерность нашего мира, а четверками чисел. Так «появились на свет» причудливые, но весьма полезные для нужд математики и физики числа нового типа - кватернионы, хотя французский математик и физик XVIII века Жан Д'Аламбер, и немецкий математик Карл Вейерштрасс, столетием позже, доказали, что все операции, производимые над комплексными числами, порождают только комплексные числа, то есть множеству этих чисел расширяться просто некуда.
И никаких новых типов чисел не должно существовать в принципе. Да не тут-то было …
О том, что же произошло тогда в мире чисел, чуть раньше открытия кватернионов, узнаем в следующей - второй части данной статьи.