Данная статья является текстовой версией, опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Поговорим о средних линиях и медианах треугольника. Начнем со средней линии. Отрезок соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией. Зеленые и синие отрезки равны, красный отрезок - это средняя линия. При этом она параллельна третьей стороне треугольника, и ее длина равна половине длины этой третьей стороны. Докажем эти утверждения.
Построим произвольный треугольник. Все углы разные, стороны не равны друг другу. На любой стороне треугольника выберем точку, которая делит эту сторону пополам. Это означает, что зеленые отрезки равны. Из этой точки построим прямую параллельную правой стороне треугольника.
Получили новый треугольник с зеленой, красной и синей сторонами. А теперь из той же точки построим прямую, параллельную синей стороне нового треугольника.
Красные углы равны, поскольку одна сторона у них общая, а вторые стороны параллельны. Это же справедливо для синих углов. Но тогда у двух малых треугольников равны одна сторона и два прилежащих к ней угла. Это второй признак равенства треугольников. Про признаки равенства треугольников у меня есть видео на этом канале:
Получается два малых треугольника равны. А светло-серая геометрическая фигура ничто иное, как параллелограмм, потому что она образована пересечением двух пар параллельных прямых. А у параллелограмма противоположные стороны равны. Три красных отрезка равны. Три синих отрезка тоже равны.
Из этого следует, что зеленая точка делит синюю сторону исходного треугольника на две равные части, то есть зеленая точка - это середина синей стороны. А синяя точка делит зеленую сторону исходного треугольника тоже пополам, именно так мы выбирали ее местоположение. Следовательно, красный отрезок соединяет середины зеленой и синей сторон исходного треугольника, а значит это и есть средняя линия. При этом красный отрезок принадлежит прямой, которая параллельна красной стороне исходного треугольника, и длина этой средней линии в два раза меньше длины красной стороны изначального треугольника.
Таким образом, мы доказали, что средняя линия треугольника параллельна красной стороне треугольника, а ее длина равна половине длины этой стороны. Понятно, что аналогичные доказательства мы можем построить и для двух других средних линий треугольника.
Но это еще не все. Если мы рассмотрим треугольник, у которого построены все три средних линии, мы легко заметим, что они делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Действительно, три зеленых отрезка равны, три красных тоже равны, и три синих также равны. А значит, равны все четыре треугольника. Вспомните третий признак равенства треугольников.
Понятно, что площадь любого из этих четырех треугольников равна одной четвертой части площади исходного треугольника. А также очевидно, что любой из этих четырех треугольников подобен первоначальному треугольнику.
Теперь поговорим о медианах. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, противоположной этой вершине, называется медианой треугольника. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы. Понятно, что у каждого треугольника три медианы.
Докажем, что они пересекаются в одной точке. При этом точка пересечения медиан делит каждую медиану в соотношении два к одному, где две части приходятся на отрезок от вершины треугольника до точки пересечения, а одна часть - на отрезок от точки пересечения медиан до основания медианы.
Построим произвольный треугольник. Все углы разные, стороны не равны друг другу. На двух произвольных сторонах треугольника определим точки, которые делят сторону на две равные части. Построим две медианы, основанием для которых будут являться две выбранные нами точки. Естественно, что эти медианы пересекутся в какой-то точке.
Построим среднюю линию треугольника, соединив основания двух медиан. Вспоминаем свойства средней линии. Красный отрезок параллелен стороне треугольника и длина отрезка равна половине длины этой стороны треугольника.
Рассмотрим темно-серый треугольник. Построим для него среднюю линию параллельную той же стороне треугольника. Два красных отрезка равны, потому что их длина равна половине длины одной и той же стороны треугольника. А еще они параллельны, поскольку параллельны одной стороне треугольника. Концы средней линии делят зеленую и синюю стороны темно-серого треугольника на две равные части. Поэтому зеленые отрезки равны друг другу, и синие тоже равны.
Соединим концы красных отрезков друг с другом. Красные и розовые отрезки составляют геометрическую фигуру - параллелограмм. Потому что красные отрезки равны и параллельны. У параллелограмма точка пересечения диагоналей делит их пополам.
Следовательно, меньшая диагональ параллелограмма состоит из двух равных зеленых отрезков, а большая диагональ - из двух равных синих отрезков. Получается, зеленая медиана исходного треугольника - это три равных зеленых отрезка, а синяя медиана - это три равных синих отрезка. И точка пересечения медиан располагается на расстоянии одной третьей части длины медианы от ее основания. Это справедливо для обеих медиан.
Аналогично, мы можем доказать, что точка пересечения зеленой и красной медиан также располагается на расстоянии одной трети длины медианы от ее основания для обеих медиан. Но на зеленой медиане существует только одна единственная точка, расположенная на расстоянии одной трети длины медианы от основания медианы, и пересечение с синей медианой происходит тоже в этой точке.
Значит, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их длины в отношении два к одному. Мы это доказали. Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.
Поговорим еще об одном полезном свойстве медианы. У произвольного треугольника построим синюю медиану, основание которой делит красную сторону треугольника на два равных красных отрезка. Длины этих отрезков обозначим a. Построим внутри исходного треугольника розовый отрезок, параллельный красной стороне треугольника. Синяя медиана делит розовый отрезок на две части, длины которых обозначим через b1 и b2. А теперь докажем, что b1 равен b2, другими словами, будем доказывать, что медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
Рассмотрим два треугольника. Первый треугольник ограничен верхней стороной исходного треугольника, половиной его красной стороны и синей медианой. Второй треугольник является частью первого, отсеченной розовым отрезком. Один угол у этих двух треугольников общий, а фиолетовые углы у них равны. Ведь одна сторона этих углов общая, а вторые стороны углов параллельны.
Если у двух треугольников равны два угла, то такие треугольники подобны. О подобии треугольников у меня тоже есть видео на этом канале: Признаки подобия треугольников.
Обозначим длину медианы как c. А длину участка медианы от вершины треугольника до пересечения с розовым отрезком как c1. Длина красного отрезка a, розового верхнего b1. Из подобия двух треугольников следует, что отношение b1 к c1 такое же, как отношение a к c. Выразим длину розового отрезка b1 через длины трех других отрезков и запомним это выражение.
Теперь рассмотрим два треугольника, расположенных с другой стороны от медианы. У этих треугольников снова один угол общий, а зеленые углы равны из-за общей стороны и параллельности вторых сторон, то есть треугольники подобны. Длины сторон c и c1 прежние, длина красного отрезка снова a, а вот длина нижнего розового отрезка b2. Запишем отношение b2 к c1 и преобразуем его. Мы видим, что b2 и b1 равны одному и тому же выражению, значит b1 равен b2.
Мы доказали, что медиана делит пополам любой отрезок, параллельный стороне, к которой проведена эта медиана.
Еще одно свойство медианы. Она делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника. Докажем, что площадь левого треугольника S1 равна площади правого S2.
Построим высоту треугольника к синей стороне. Обозначим длину этого красного отрезка h. Синие отрезки равны и их длина a. Площадь треугольника S1 равна половине произведения a на h. Площадь S2 тоже равна a на h пополам. Следовательно S1 равно S2. То есть мы доказали, что медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.
А теперь возьмем произвольный треугольник и построим все три его медианы. Медианы поделили исходный треугольник на шесть произвольных треугольников. Докажем, что площади этих новых треугольников равны между собой, или, иными словами, площадь каждого из шести треугольников равна одной шестой части площади исходного треугольника.
Рассмотрим треугольник составленный из треугольников с площадями S1, S2 и S3. Мы только что доказали, что площадь такого треугольника равна половине площади исходного треугольника. Получаем выражение для определения площади S1.
А теперь рассмотрим новый составной треугольник. Его площадь также равна половине площади исходной фигуры. Выражение для определения площади S4 в правой части полностью совпадает с выражением для S1.
Мы доказали, что площади треугольников S1 и S4 равны.
Рассмотрим очередной составной треугольник. Получим равенство для определения S3.
Следующий составной треугольник дает нам выражение для S6.
Так мы приходим к выводу, что площади треугольников S3 и S6 равны.
А теперь запишем равенство суммы площадей треугольников зеленого оттенка и суммы площадей треугольников фиолетового оттенка. В правой части заменим S4 и S6 на равные им величины S1 и S3. Избавимся от подобных членов. В результате получаем, что площади S2 и S5 равны.
Снова рассмотрим треугольник в зеленых тонах. Построим для него высоту размером h1, длину розовой медианы обозначим через m1. Площадь заштрихованного треугольника равна половине произведения высоты на длину медианы, но эта же площадь равна половине площади исходного треугольника. Тогда логично, что площадь исходного треугольника равна произведению h1 на m1.
При этом легко заметить, что площадь треугольника S3 равна половине произведения h1 на одну третью часть длины медианы. Ведь мы помним, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в соотношении 2 к 1, значит на треугольник площадью S3 приходится одна треть длины медианы. Тогда S3 равно одной шестой части произведения h1 на m1. И, заменяя произведение, S3 равно одной шестой от площади исходного треугольника. Это же относится и к площади S6.
Рассмотрим треугольник составленный из площадей S2, S3 и S4. Его высота h2, а медиану, к которой построена высота, обозначим через m2. Вычисляя площадь заштрихованного треугольника, мы снова приходим к выводу, что площадь исходного треугольника равна произведению, на этот раз, h2 и m2. А площадь S2 тоже равна одной шестой части площади первоначального треугольника. Это же утверждение распространяется и на площадь S5.
Опять запишем выражение для площади треугольника в зеленых тонах. Заменим S2 и S3 и легко получим равенство S1 одной шестой части площади изначального треугольника. При этом мы помним, что S1 равно S4.
Мы доказали, что три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих по площади треугольников. Попутно мы установили, что площадь треугольника равна произведению длины любой медианы на длину перпендикуляра, проведенного из вершины треугольника к этой медиане.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
