Все знают, что такое число. Всем известно, что такое ряд чисел. Все знают, что такое бином Ньютона. Все знают, что 2*2=4. Но вот Вам на затравочку. 2*2(mod3)=11. Дважды два в троичной системе счисления одиннадцать. Нет, результат не изменился, просто в результате (простите за тавтологию) бинарной операции итог превысил разряд счисления и нужно переходить на следующий уровень. Наступила революционная ситуация, переход через точку "0", точку невозврата, на новый уровень, в другое измерение, наступил предел прочности, фазовый переход, резонанс и бог знает, что ещё. Я это к чему? Итог сложения один и тот же, но вот в какой системе счисления Вы находитесь: двоичной (бинарной), троичной, десятичной или двенадцатеричной (английской, с часами и дюжинами), или шестнадцатеричной (на данный момент принятой в компьютерных программах и нумерализации людей-пользователей, компьютеров, сетевых устройств и устройств отображения), от этого зависит как выглядит, будет отображен итог операции. Второй общеизвестный факт - бином Ньютона, когда в результате повторного монотонного длительного воздействия на составной объект (людей и территорий, чисел) - возведения в степень мы получаем итог, представленный в форме совокупности- ряда линейных (это важно!, поскольку линейность - это одномерность, но сейчас не об этом, попозже) составляющих, которые, в свою очередь, состоят из монотонного воздействия на отдельные части. С одной стороны, это верно, логично и понятно. И никто не собирается предлагать использовать бином Ньютона на специальной военной операции. Но есть куча нюансов. И не в приложении-переложении жизненной ситуации на математическую формулу, хотя отчасти да. Вода и камень точит, разбивает его на мелкие части, главное длительно и по одному месту. Чтобы прожечь-прокалить сталь, нужно разделить железо и углерод, углерод сгорит и улетучится, а железо станет "рыхлым". Другие применения принципа "разделяй и властвуй" Вы и сами знаете. Сейчас не об этом. О чисто математическом аспекте, об логике. Потому как бином Ньютона, несомненно, верен, если речь идёт о КОНЕЧНОМ. Как о конечном возведении в степень, так и конечном числе элементов в итоговой сумме. Это по поводу степени. Второй нюанс в значениях (величинах) преумножаемой суммы. Если одно из слагаемых значительно превосходит другое , то в результате воздействия влияние большего играет всё более решающую роль, а меньший элемент просто на подхвате. Причём влияние более сильного тем ощутимее, чем выше степень (длительность воздействия) операции. В жизни это называется эскалацией, в экономике - господство монополий, в финансах - богатые богатеют, в математическом анализе - функции О() и о() (функции о-малое и о-большое), в житейской логике - существенный, весомый аргумент и несущественный. Третий нюанс(не в математическом, а так сказать, переложении на жизнь). Бином Ньютона несомненно верен всегда, но если речь идёт не о сумме, а о разности составляющих, а ещё в свете предыдущего, когда второй аргумент не только помогает, но и ослабляет воздействие первого. Длительное ношение чемодана без ручки приводит к искривлению позвоночника, хотя врачи советуют носить ранец за спиной, камень за пазухой, а соль и порох держать сухими. Наконец, четвёртый нюанс. Связанный именно с линейностью, и отчасти, на границе восприятия, логики, философии. Бином Ньютона - это разложение итога степенной функции, воздействующей на некоторое множество, на составляющие, состоящие из более мелких, но ТОГО же рода, СТЕПЕННЫХ, функций. И вроде бы как это правильно и верно. Лечи подобное подобным, своди задачу к уменьшению степени, размерности, трёхмерное пространство упрощаем до плоскости, а относительную величину пользы-вреда принимаем за абсолютное значение и не парим мозг, что ответная реакция может быть из другой области, от другого члена. Это такое ЛИНЕЙНОЕ (одномерное) восприятие окружающего пространства, происходящих событий и ответных реакций. По Жириновскому, Сатана - подонок, поскольку выгнал бездельников Адама и Еву из рая, и не надо париться: почему этого не сделал САМ, зачем нужен повод, правильно или неправильно изгонять фаворитов и, вообще, вмешиваться в деятельность бесхозяйствующих субъектов. Извините, отвлёкся.
Итак, 4 нюанса: конечность; неравноценность вклада в операцию и, соответственно, неравноценность получения прибыли-результата- итого; совпадения целей и задач от действующих сообща; однозначность восприятия через ПОДОБНОЕ. Чуть подробнее о каждом.
1) В математике есть такое понятие о числах, как "в периоде", обозначается скобками, типа 1/3=0,(3). Казалось бы, ну и что такого. Ну назвали слона слоном, а когда и почему - не суть. Но когда встаёт вопрос, это индийский слон или африканский, возникают нюансы, типа завезли, скрестили, сбежал из зоопарка и т.д. Это для физиков несущественно, 2=1,(9) или играет какую-то роль та погрешность, которая возникает, если ограничить количество разрядов, принимаемых во внимание. И вырабатывается принцип неопределённости: мы не можем определить в каком месте находится что-то, не обладая рулеткой с более мелкой шкалой. И не столь существенно, сколькими разрядами оперирует квантовый компьютер вместо нынешних 64, сколько возможность его проверить- проконтролировать-избежать ошибок при использовании квантового компьютера с более мелкой шкалой. Это не значит, что его не надо делать. Вот "тёмную" материю и гравитационные волны искать не надо, поскольку первой нет, а волны везде и все волны, по сути, гравитационные (кроме наркоманских, когда "накатило"). Насколько в математике существенна погрешность - не мне судить. Но помимо чисел, существуют и ряды, и матрицы-тензоры, и функциональные ряды, возможно, есть и разделы, типа функциональный анализ тензоров, я не в курсе. Нам что попроще, поскольку есть нюансы уже в самом простом. Даже числовые ряды, состоящие из бесконечного числа слагаемых-чисел, уже предоставляют некоторые проблемы, а именно проблему сходимости и проблему полноты ( не в смысле ожирения, а в смысле принадлежности к множеству, из которого составлен ряд). Классические примеры: гармонический ряд расходится, существует куча числовых рядов, состоящих из рациональных чисел, но сходящихся к иррациональному числу π.
2) Если в отношении отдельных числовых рядов ещё можно как-то определиться сходится он или расходиться, но когда речь заходит о СУММЕ двух рядов, то возникают проблемы, потому как если один из слагаемых расходится, то и сумма расходится, но если оба слагаемых сходятся - не факт, что сходится сумма. Такая вот дилемма, отличающаяся от альтернативы. Не буду останавливаться на учете этого факта политиками при расчёте интересов Украины, России и США, тем более что игра идёт на разных аспектах по-разному: в чём-то с неубывающей суммой, где-то с убывающей, что, несомненно, влияет на конечный итог. Даже не упомяну о "теореме о модулярах", поскольку она вроде как доказана, но я "доказательства не читал, но не поддерживаю".
3) Если же речь идёт о РАЗНОСТИ двух рядов, то всё ещё интереснее. Вроде бы должно быть проще, но это только видимость, ибо помимо факторов, когда один ряд сходится, а другой расходится, могут возникнуть ситуации, когда оба расходятся, но разница совершенно чётко и однозначно определяется. Да-да, я сейчас о гравитации. Особенно это заметно при рассмотрении знакопеременных рядов, для которых есть правила-приметы сходимости - если следующий элемент меньше предыдущего - знакопеременный ряд сходиться. Но вот про разницу рядов сиё не работает. Действительно, вот Вам 1-1+1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-1/4+1/5-1/5+1/6-1/6+... С одной стороны, итог очевидно =0, но можно представить как разницу между двумя гармоническими рядами, которые расходятся, если доходить до бесконечности, можно остановиться на определённом этапе и получить либо 0, либо 1/n, где n- номер этапа. Опять же не будем политизировать. Мы же о математике, о коммутативности алгебры (перестановке слагаемых), а не о численности ВСУ, не о лебеде, раке и щуке в известной басне. Или об экономике Германии.
4) И, наконец, последний нюанс о числовых рядах. Даже если ряд сходится, не факт, что ИТОГО будет элементом того множества, из которого этот ряд составлен. Ну тут более-менее всё ясно не только в математике, где в результате сложения в числовой ряд рациональных чисел получаются иррациональные, но и во многих других сферах деятельности, когда сначала кажется, что это полезно, оправдано и рационально, а потом , после некоторой итерации, понимаешь, что "а нафига мне это было надо?".
Что же касается до функциональных, а не числовых рядов, то всё ещё запутаннее. Потому что заранее нельзя определить, ряд постоянный или знакопеременный, будет итог принадлежать тому множеству, из которого берутся аргументы функции, функциональный ряд от одного аргумента или нескольких и можно ли получить результат методом представления через сумму более простых. В качестве более простых чаще всего используются степенные функции или тригонометрические функции, но что будет, если использовать ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ функции. Ясно, что нельзя использовать ТОЛЬКО один синус гиперболический или один косинус гиперболический по отдельности, но использовать в качестве системы отсчёта (базиса) КОМБИНАЦИЮ гиперболических функций. я не вижу никаких проблем, кроме поведения в бесконечности. И эта модель мироздания на основе описания и сильного и гравитационного взаимодействия через матричное, но не линейное, лучше описывает и процессы внутри ядра атома и процессы в центре галактики и процессы взаимодействия галактик и процессы формирования циклонов и антициклонов на Земле и на Солнце. Вот только можно ли просчитать-предсказать, если пока мы не можем достоверно предсказать итог взаимодействия двух кварков, и вопрос стоит, а возможно ли это вообще, или нужно переходить на подкварковый уровень.