Почему квадратные уравнения имеют два корня?
Ответ на этот вопрос, кажется, лежит на поверхности. Действительно, всегда существует два числа, квадраты которых равны. Эти числа отличаются лишь знаками. Например, x^2=4. У этого уравнения два корня, а именно x1=-2, x2=2. Если x^2=0, то x1=x2=0.
Но почему этот закон работает для квадратного уравнения, общий вид которого мы все знаем.
ax^2+bx+c=0 Где здесь квадрат?
Выделим его, применяя нехитрые преобразования, разделив, для начала, всё на коэффициент а.
Поскольку мы работает с квадратным уравнением, в котором наивысшей степенью х является степень 2, то подразумеваем, что коэффициент «а» не равен нулю.
Выделенное выражение представляем собой формулу квадрата суммы чисел (х+b/2a)^2. После того, как мы выделили полный квадрат, можем представить его в виде известной формулы:
Приведем правую сторону уравнения к общему знаменателю:
Заметим, что левая часть этого уравнения может принимать только неотрицательные значения, то есть быть или нулем, или положительным числом. Следовательно, правая часть также не может быть отрицательной. Мы видим, что знаменатель правой части всегда положителен, значит ее числитель должен быть неотрицателен. Таким образом, возможны два случая:
Если данное выражение, то есть дискриминант положителен, то
Заметим, что знак +/- получается из того факта, что два числа, отличающиеся только знаками, имеют равные квадраты.
Таким образом, мы увидели, что квадратное уравнение действительно имеет два корня, и зависят они от значения дискриминанта.
Мы знаем, что любая функция находит свое графическое отражение, читая которое, можно и свойства этой функции узнать, и ее корни.
Остановимся подробнее на корнях.
Задумывались ли вы над тем, что такое корень квадратного уравнения ax^2+bx+c=0? Очевидно, что это такие значение переменной х, при которых выражение ax^2+bx+c принимает значение нуль.
Но как это отражается на графике функции?
На графике это отражается в точках пересечения параболы с осью абсцисс.
Рассмотрим пример:
Корнями уравнения x^2+3x-2=0 являются значения x1=1, x2=2.
На рисунке видно, что именно в точках с абсциссами, значение которых совпадает с корнями уравнения, график пересекает ось.
Также по графику видно, что при переходе через эти точки функция меняет знак на противоположный.
Таким образом, подставляя знак минус перед корнем из дискриминанта, мы находим одну из точек пересечения параболы с осью абсцисс, то есть точку (х1;0), а когда подставляем знак плюс, то отыскиваем симметричную ей точку с координатами (х2;0). Это же отражается на графике.
#корниквадратногоуравнения #квадратныеуравнения #полныйквадрат #дискриминант #графикфункции