Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.
Понимание функции
Функция — это зависимость одной переменной (обычно y) от другой переменной (обычно x). Например, y=2x+3 — это линейная функция.
Построение графика функции
Пример 1. Линейная функция y=2x+3
1. Определите ключевые точки:
Найдите точку пересечения с осью Oy (где x=0): y=2(0)+3=3. Точка (0, 3).
Найдите точку пересечения с осью Ox (где y=0):
0=2x+3⇒x=−3/2. Точка (−1.5; 0)
2. Постройте точки на графике:
Отметьте точки (0; 3) и (-1.5; 0) на координатной плоскости.
3. Соедините точки прямой линией:
Проведите прямую линию через эти точки. Это и будет график функции y=2x+3.
Пример 2:. Квадратичная функция y = x^2 - 4x + 3
1. Найдите вершину параболы:
Вершина параболы находится в точке
x = -b/2а. В данном случае a = 1, b = -4, c = 3.
x = -(-4)/(2 *1) = 2.
Подставьте x = 2 в уравнение, чтобы найти y: y = 2^2 - 4*2 + 3 = -1. Вершина (2; -1).
2. Найдите точки пересечения с осями:
С осью Oy, где x = 0 : y = 0^2 - 4 * 0 + 3 = 3. Точка (0; 3).
С осью Ox, где y = 0 : x^2 - 4x + 3 = 0.
Решите квадратное уравнение: (x - 1)(x - 3) = 0. Точки (1; 0) и (3; 0).
3. Постройте точки на графике:
Отметьте вершину (2; -1), точки (0; 3), (1; 0) и (3; 0).
4. Соедините точки плавной кривой:
Проведите плавную кривую через эти точки, чтобы получить параболу.
Использование графиков для решения уравнений
Пример. Решение уравнения 2x + 3 = 5
1. Постройте график функции y = 2x + 3.
2. Постройте горизонтальную линию y = 5.
3. Найдите точку пересечения:
Точка пересечения графика функции и горизонтальной линии даст решение уравнения. 2x + 3 = 5, x = 1.
Использование графиков для решения неравенств
Пример. Решение неравенства x^2 - 4x + 3 < 0
1. Постройте график функции y = x^2 - 4x + 3.
2. Найдите точки пересечения с осью Ox:
Точки (1; 0) и (3; 0).
3. Определите интервалы, где функция ниже оси Ox:
Парабола ниже оси Ox между точками (1; 0) и (3; 0).
4. Запишите решение: 1 < x < 3.
Построение графиков функций и использование их для решения уравнений и неравенств — это мощный инструмент. Важно последовательно выполнять шаги: определение ключевых точек, построение графика, нахождение точек пересечения и анализ интервалов.