Как строить графики функций и использовать их для решения уравнений и неравенств (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Понимание функции

Функция — это зависимость одной переменной (обычно y) от другой переменной (обычно x). Например, y=2x+3 — это линейная функция.

Построение графика функции

Пример 1. Линейная функция y=2x+3

1. Определите ключевые точки:

Найдите точку пересечения с осью Oy (где x=0): y=2(0)+3=3. Точка (0, 3).

Найдите точку пересечения с осью Ox (где y=0): 

0=2x+3⇒x=−3/2. Точка (−1.5; 0)

2. Постройте точки на графике:

Отметьте точки (0; 3) и (-1.5; 0) на координатной плоскости.

3. Соедините точки прямой линией:

Проведите прямую линию через эти точки. Это и будет график функции y=2x+3.

Пример 2:. Квадратичная функция y = x^2 - 4x + 3

1. Найдите вершину параболы:

Вершина параболы находится в точке

x = -b/2а. В данном случае a = 1, b = -4, c = 3.

x = -(-4)/(2 *1) = 2.

Подставьте x = 2 в уравнение, чтобы найти y: y = 2^2 - 4*2 + 3 = -1. Вершина (2; -1).

2. Найдите точки пересечения с осями:

С осью Oy, где x = 0 : y = 0^2 - 4 * 0 + 3 = 3. Точка (0; 3).

С осью Ox, где y = 0 : x^2 - 4x + 3 = 0.

Решите квадратное уравнение: (x - 1)(x - 3) = 0. Точки (1; 0) и (3; 0).

3. Постройте точки на графике:

Отметьте вершину (2; -1), точки (0; 3), (1; 0) и (3; 0).

4. Соедините точки плавной кривой:

Проведите плавную кривую через эти точки, чтобы получить параболу.

Использование графиков для решения уравнений

Пример. Решение уравнения 2x + 3 = 5

1. Постройте график функции y = 2x + 3.

2. Постройте горизонтальную линию y = 5.

3. Найдите точку пересечения:

Точка пересечения графика функции и горизонтальной линии даст решение уравнения. 2x + 3 = 5, x = 1.

Использование графиков для решения неравенств

Пример. Решение неравенства x^2 - 4x + 3 < 0

1. Постройте график функции y = x^2 - 4x + 3.

2. Найдите точки пересечения с осью Ox:

Точки (1; 0) и (3; 0).

3. Определите интервалы, где функция ниже оси Ox:

Парабола ниже оси Ox между точками (1; 0) и (3; 0).

4. Запишите решение: 1 < x < 3.

Построение графиков функций и использование их для решения уравнений и неравенств — это мощный инструмент. Важно последовательно выполнять шаги: определение ключевых точек, построение графика, нахождение точек пересечения и анализ интервалов.