В школе, конечно, проходят логарифмы от положительных чисел. Но и здесь вопрос рассматривают не до конца. В ВУЗах обычно этому внимания, также, не уделяют.
Ч1. Логарифм положительного числа.
Прежде, чем рассматривать логарифмы, посмотрим на уравнение
Мы берём корень 2-ой степени из 4 и получаем два ответа. В общем случае, можно получить множество решений.
Возникает вопрос, а не может ли подобное быть и у логарифма?
По определению, логарифм это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент логарифма.
Согласно формуле Эйлера получаем:
Проверим найденный результат:
Верно! Мы и вправду получили не одно решение, а бесконечное множество.
Ч2. Логарифм отрицательного числа.
Опять вспоминаем формулу Эйлера. Из неё следует, что
Окончательно получаем:
Проверяем
Верно!
Выводы. Для натурального логарифма справедливо следующее.
Если мы берём логарифм от вещественного числа, то он состоит из суммы двух частей. Одна часть является положительным числом равным логарифму от модуля вещественного числа. Вторая часть - это множество мнимых значений; это мнимая единица, помноженная на Пи и на чётное или нечётное число (зависит от того, положительным или отрицательным является вещественное число, от которого берём логарифм).