Многие сегодня не понимают, зачем нужны комплексные числа. Их почти убрали из школьной программы, однако, появились они ещё в 16-ом веке.
Надо думать, изучению комплексных чисел стали уделять больше времени в ВУЗах, иначе бы уменьшение внимания к ним в школе означало бы деградацию.
Часть 1. Перейдём, однако, к вопросу зачем они нужны? И чтобы это понять разберём примеры на числах хорошо нам известных и привычных, натуральных.
Пример 1. Пусть у нас стоит задача найти решение в натуральных чисел уравнения
3+x-5=0.
Решением этого уравнения будет x=2.
По шагам ход самого решения был бы следующим:
1) 3+x-5+5=0+5
2) 3+x=5
3) x+3=5
4) x+3-3=5-3
5) x=2
Я специально решение привёл таким подробным, чтобы показать, что нигде отрицательных числа не появились и мы не вышли из области натуральных чисел.
Пример 2. Требуется вычислить выражение
3+(x-5)=0
Да, скобки раскрывать мы умеем, но они стоят в самой постановке задачи. И, когда мы будем проверять решение, то мы должны сначала вычислить выражение в скобках, получить число и, уже потом, выполнить дальнейшие действия.
И что мы получаем? А получаем мы отрицательное число, которое натуральным не является и, значит, такая задача в области натуральных чисел решения не имеет.
Пример 3.
3-5+x=0
В этом примере нет скобок. Мы не можем переставить число "-5" и x, но приоритет у операций сложения и вычитания одинаков, поэтому, мы спокойно можем сначала сложит 3+x, а потом, уже отнять 5. Эта задача, уже имеет решение.
Итак, мы видим, что возникла во втором примере. Однако раскрытие скобок, или их ввод сами натуральные числа ведь не запрещают. В процессе решения примера 1, мы вполне могли получить задачу на решение примера 2. Т.е. в процессе решения могла возникнуть ситуация, когда без ввода отрицательных чисел не обойтись, но конечный результат, при этом, будет натуральное число.
Аналогичная ситуация возникает и с комплексными числами. К ним пришли тогда, когда нашли решение для кубических уравнений.
Решение кубических уравнений, в ряде случаев, выражаются через комплексные числа, но при этом корни являются вещественными. Т.е. мнимые части компенсируются и исчезают.
Так что, комплексные числа необходимы, также как и тригонометрические. Что было показано в статье о возведение чисел в дроби.
Часть 2. В некоторых случаях, люди не воспринимают комплексные числа, считая их слишком абстрактными по отношению к вещественным. Есть ввод понятия комплексных чисел без ухода от вещественных.
Обычно комплексные числа вводят как числа вида a+b*i, где i это такое число, что в квадрате даёт -1. Оно называется мнимой единицей и многих пугает.
Вместо этого определения можно ввести вектора (a,b) со свойствами:
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ac+bd)
Видим, что первый элемент вектора соответствует реальной части соответствующего комплексного числа, а второй мнимой. Соответствие взаимооднозначное, но, при этом, вектор мнимых чисел не содержит.
Можно, конечно, задаться вопросом, а откуда взялось такое правило произведение векторов? Но, ведь скалярное и векторное произведение векторов тоже не берутся откуда-то, мы их просто когда-то определили и это не вызывает ни у кого вопросов. И здесь мы так же определили произведение для векторов, но по какому-то иному правилу.
P.S. Вообще-то в физике абстрактного куда больше, чем в математике и никого это не останавливает.