В статье о возведении чисел в дробь было показано, что комплексные числа и тригонометрическая запись комплексных чисел это не одно и то же. Тогда возникает вопрос, является ли тригонометрическая запись комплексных чисел дальнейшим расширением?
С формальной точки зрения надо показать, что числа, представленные в тригонометрическом виде представляют собой поле. Но, это действительно так. Для доказательства надо лишь показать, что для этих чисел соблюдаются законы сложения и умножения.
Тогда возникает вопрос, почему их не считают расширением? Ответ на этот вопрос наука умалчивает... Здесь нечего сказать.
Таким образом, повода не считать их расширением нет, но есть особенности. В поле таких чисел многочлены будут иметь бесконечное множество решений.
Множество таких чисел будем обозначать буквой T.
Иначе говоря, множество T, это множество чисел вида
По смыслу тригонометрическое число состоит из произведения вещественного числа на степень единицы (или минус единицы), записанной в тригонометрической форме. Когда мы возводим в степень это произведение, мы можем найти любую степень вещественного числа, а все остальные значения получить путём умножения на возведенную в степень тригонометрическую часть.
В большинстве случаев мы затребуем, чтобы степень или корень вещественного числа давал(а) вещественное число. Но, в случае возведения вещественного числа в мнимое, от этого правила придётся отойти.
Заметим, что если принять
то получим подмножество из T, которое можно отождествить с множеством комплексных чисел C.
Видимо, математиков останавливает то, что в представлении присутствует функция. Однако, когда вводили отрицательные числа, функцию отрицания ввели же и ничего. Множество иррациональных чисел выражается через функциональные зависимости. Это не повод отказываться от расширения.
В любом случае, продолжение исследования этого вопроса ещё будет.