То, что проходят в школе, а потом, в ВУЗе, к изучению этого вопроса не возвращаются, это возведение в целую степень и извлечение корня целой степени. Соответственно можно было бы сказать о возведение числа в рациональную дробь, как возведение в целую степень и последующего взятия корня целой степени, но здесь не всё так просто. Поэтому сперва рассмотрим возведение чисел в рациональную дробь, далее рассмотрим возведение в иррациональную степень, и, наконец, в комплексное число.
1. Возведение числа в рациональную дробь.
Давайте рассмотри следующую запись.
Казалось бы, достаточно расширить область чисел до комплексных и далее надо просто в ответах выбрать подходящее решение. Допустим, это так, но даст ли такой подход верное решение, если мы будем рассматривать в ответах область комплексных чисел?
Переход к комплексным числам.
Попытаемся выяснить, что именно происходит, откуда берётся неверный результат. Для этого рассмотрим запись комплексного числа в тригонометрической форме:
Можно ввести приоритет для деления и умножения, сделать у деления более высокий приоритет. Вероятно, это решит проблему, но нужно доказательство.
Казалось бы, достаточно расширить область чисел до комплексных и далее надо просто в ответах выбрать подходящее решение. Допустим, это так, но даст ли такой подход верное решение, если мы будем рассматривать в ответах область комплексных чисел?
Переход к комплексным числам.
Попытаемся выяснить, что именно происходит, откуда берётся неверный результат. Для этого рассмотрим запись комплексного числа в тригонометрической форме:
Результаты не совпали. Но, почему?
Первое, что можно заметить, это то, что мы неправильно воспроизвели 2-ой второй подход. Начинать надо с правильного представления числа
Шаг2. Как видим, тут много разных корней
Результаты не совпали, хотя мы исправили ошибку, допущенную на 1-ом шаге. В чём же дело?
Всё дело в том, что в процессе решения не надо было переходить к комплексному представлению числа. Если бы мы этого не сделали, то получили бы следующее:
Если перейти теперь к комплексному представление, то мы получим -2, что и требуется.
Выводы.
Их два.
- Комплексные числа и тригонометрическое представление комплексных чисел не одно и то же.
- Возводить в степень надо в области тригонометрического представлении комплексных чисел. И, лишь, в самом конце надо переходить в ту область чисел, что требуется в задачи.
Дополнительно, можно отметить, что в представленных примерах, если бы у деления был приоритет перед умножением, то противоречия не возникло бы.
Что касается произвольных рациональных дробей, то полученные выводы естественным образом на них распространяются. Понятно, что при использовании тригонометрического представления комплексных чисел при возведении в произвольную дробь информация не теряется, если мы не уходим от этого представления. Ну, а если уйдём, то рискуем получить тот же казус, что описан выше.