Как решать задачи на нахождение решений систем неравенств (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как решать задачи на нахождение решений систем неравенств, шаг за шагом. Для примера возьмем следующую систему неравенств:

1. 2x−3>1

2. x+4≤7

Решение каждого неравенства по отдельности

Решение первого неравенства 2x−3>1

1. Добавим 3 к обеим частям неравенства:

2x−3+3>1+3

2x>4

2. Разделим обе части неравенства на 2:

2x/2>4/2

x>2

Решение второго неравенства x+4≤7

1. Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

x+4−4≤7−4

x≤3

Нахождение пересечения решений

Теперь у нас есть два неравенства:

1. x>2

2. x≤3

Нам нужно найти значения x, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Для этого мы находим пересечение промежутков:

x>2

 означает, что x может быть любым числом больше 2.

x≤3 означает, что x может быть любым числом, меньшим или равным 3.

Пересечение этих промежутков:

2<x≤3

Ответом будет промежуток 2<x≤3. Это означает, что x может принимать любые значения в этом промежутке.

Пример на графике

Для наглядности можно изобразить это на числовой прямой:

1. x>2 — это все числа правее 2, не включая 2 (обозначим это пустым кружком на 2 и стрелкой вправо).

2. x≤3 — это все числа левее 3, включая 3 (обозначим это закрашенным кружком на 3 и стрелкой влево).

Пересечение этих двух областей будет от 2 (не включая) до 3 (включая).

Таким образом, решение системы неравенств 2x−3>1 и x+4≤7 — это промежуток 2<x≤3.