Что такое системы неравенств и как их решать (задачи из ОГЭ)?

Давай разберем, что такое системы неравенств и как их решать, на примерах, которые могут встретиться в ОГЭ.

Понимание неравенств

Неравенства — это математические выражения, которые показывают, что одна величина больше, меньше, больше или равна, или меньше или равна другой величине. Например:

x>3

и

y≤5

Понимание систем неравенств

Система неравенств — это набор из двух или более неравенств, которые должны выполняться одновременно. Например:

x>2

и

x≤5

Решение простых систем неравенств

Рассмотрим простую систему неравенств:

x>2

и

x≤5

Для решения этой системы нужно найти значения x, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно.

1. x>2 означает, что x должно быть больше 2.

2. x≤5 означает, что x должно быть меньше или равно 5.

Объединяя эти два условия, получаем:

2<x≤5

Графическое представление

Для наглядности можно изобразить решение на числовой прямой:

Нарисуем числовую прямую.

Отметим точку 2 (пустой кружок, так как x>2).

Отметим точку 5 (закрашенный кружок, так как x≤5).

Заштрихуем область между 2 и 5, не включая 2, но включая 5.

Решение более сложных систем неравенств

Рассмотрим более сложную систему:

2x−1>3

и

x+4≤7

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. 2x−1>3

Добавим 1 к обеим частям: 2x>4

Разделим обе части на 2: x>2

2. x+4≤7

Вычтем 4 из обеих частей: x≤3

Теперь у нас есть два неравенства:

x>2

и

x≤3

Объединяя их, получаем:

2<x≤3

Проверка решения

Проверим, что x действительно удовлетворяет обоим неравенствам:

Если x=2.5, то:

2x−1=2⋅2.5−1=5−1=4, что больше 3.

x+4=2.5+4=6.5, что меньше или равно 7.

Примеры из ОГЭ

Рассмотрим пример задачи из ОГЭ:

3x+2≥5

и

2x−4<6

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. 3x+2≥5

Вычтем 2 из обеих частей: 3x≥3

Разделим обе части на 3: x≥1

2. 2x−4<6

Добавим 4 к обеим частям: 2x<10

Разделим обе части на 2: x<5

Теперь у нас есть два неравенства:

x≥1

и

x<5

Объединяя их, получаем:

1≤x<5

Графическое представление решения

На числовой прямой:

Отметим точку 1 (закрашенный кружок, так как x≥1).

Отметим точку 5 (пустой кружок, так как x<5).

Заштрихуем область между 1 и 5, включая 1, но не включая 5.

Теперь ты знаешь, что такое системы неравенств и как их решать. Важно помнить, что решение системы неравенств — это нахождение всех значений переменной, которые удовлетворяют всем неравенствам в системе одновременно.