Как решать задачи на нахождение корней тригонометрических уравнений (задачи из ОГЭ)?

Давай разберем, как решать задачи на нахождение корней тригонометрических уравнений, которые часто встречаются в ОГЭ. Для этого рассмотрим несколько примеров и разберем их пошагово.

Пример 1. Уравнение вида sin⁡x=a

Рассмотрим уравнение 

sin⁡x=1/2.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

Для синуса область допустимых значений a находится в интервале [−1,1]. В данном случае 1/2 попадает в этот интервал, значит, решение существует.

2. Основное решение:

Найдем значение x, при котором sin⁡x=1/2. Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что:

sin⁡(π/6)=1/2

Таким образом, одно из решений:

x=π/6

3. Общее решение:

Синус имеет период 2π, и также учитываем, что sin⁡x=sin⁡(π−x). Поэтому общее решение будет:

x=π/6+2kπ и x=π−π/6+2kπ

где k∈Z.

Упростим второе выражение:

x=5π/6+2kπ

Таким образом, общее решение:

x=π/6+2kπ или x=5π/6+2kπ, k∈Z

Пример 2. Уравнение вида cos⁡x=b

Рассмотрим уравнение 

cos⁡x=−1/2.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

Для косинуса область допустимых значений b также находится в интервале [−1,1]. В данном случае −1/2 попадает в этот интервал, значит, решение существует.

2. Основное решение:

Найдем значение x, при котором cos⁡x=−1/2. Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что:

cos⁡(2π/3)=−1/2

Таким образом, одно из решений:

x=2π/3

3. Общее решение:

Косинус имеет период 2π, и также учитываем, что cos⁡x=cos⁡(−x). Поэтому общее решение будет:

x=2π/3+2kπ и x=−2π/3+2kπ

где k∈Z.

Упростим второе выражение:

x=−2π/3+2kπ=4π/3+2kπ

Таким образом, общее решение:

x=2π/3+2kπ или x=4π/3+2kπ, k∈Z

Пример 3. Уравнение вида tg⁡x=c

Рассмотрим уравнение tg⁡x=1.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

Для тангенса область допустимых значений c не ограничена, так как tg⁡x может принимать любые значения.

2. Основное решение:

Найдем значение x, при котором tg⁡x=1. Из таблицы значений тригонометрических функций знаем, что:

tg(⁡π/4)=1

Таким образом, одно из решений:

x=π/4

3. Общее решение:

Тангенс имеет период π. Поэтому общее решение будет:

x=π/4+kπ, k∈Z

Для решения тригонометрических уравнений важно помнить основные значения тригонометрических функций и их периодичность. Также важно учитывать, что уравнения могут иметь несколько решений в пределах одного периода, и эти решения нужно записывать в общем виде с учетом всех возможных значений.

Надеюсь, это объяснение поможет тебе и твоим ученикам лучше понять, как решать тригонометрические уравнения!