· Сегодня мы рассмотрим задачу из контрольной работы для 9 класса по учебнику Ю. Н. Макарычева.
Сумма положительных чисел a и b равна 50. При каких значениях a и b их произведение будет наибольшим?
· Прежде чем перейти к решению задачи, зададимся следующим вопросом: «На какие части нужно разложить число, чтобы произведение этих частей было наибольшим?»
Разложить число на части не представляется сложным. Для этого достаточно выбрать одну любую часть и посчитать другую так, чтобы вместе, т.е. в сумме, они давали 1. Например,
т.е. в данном случае мы разложили число х на ¼ и ¾ части. Таким образом, мы можем переформулировать задачу: произведение каких двух дробей, сумма которых равна 1, наибольшее? Мы знаем, что чем меньше знаменатель, и чем больше числитель, тем больше дробь. Значит, нам нужно найти такие дроби, произведение которых будет иметь самый маленький знаменатель и самый большой числитель. Разумеется, наименьшее число получается при умножении наименьших чисел, и в нашем случае это произведение 2*2. Действительно, мы можем представить единицу как
а значит произведение дробей будет равняться
Если мы выберем другие дроби, то, очевидно, знаменатели у нас окажутся больше, чем 2, а значит знаменатель произведения будет больше 4. Здесь можно возразить: ведь числитель тоже будет увеличиваться вместе со знаменателем. Например,
Да, но, что нетрудно заметить, числитель будет расти заметно медленнее знаменателя, а значит, он «не будет успевать» увеличивать дробь. Таким образом, наибольшее произведение дробей, сумма которых равна единице, это
Возвращаясь к задаче, с которой мы начали, но уже с имеющимися рассуждениями, сделаем вывод, что для получения наибольшего произведения двух чисел, сумма которых равна данному числу, нужно это число разделить на две равные части. Действительно,
Спасибо, что остались на уроке до конца. Подписывайтесь на канал, пишите комментарии, учитесь с удовольствием!