· Напомним, что нулями функции называются такие значения её аргумента, при которых сама функция принимает значение «0».
· Находить нули функции можно как аналитически, так и с помощью графика. Рассмотрим пример. Найти нули функции
Для решения этой задачи нам нужно найти корни уравнения
т.е. найти такие значения х, при которых функция y обращается в ноль.
Решая уравнение через дискриминант, находим:
Заметим, что поскольку данная функция не содержит ни дробного выражения, ни знака корня, аргумент x может принимать любые значения, а значит, оба найденных нами корня существуют.
· Покажем это графически, построив график функции:
Действительно, по графику мы видим, что в найденных точках функция пересекает ось абсцисс, а значит значение yв них равно нулю.
· Теперь рассмотрим пример другой квадратичной функции, однако в этом случае мы обойдёмся без дискриминанта.
Может ли данное выражение обращаться в нуль при каком-либо значении х? Очевидно, что нет. Действительно, произведение двух множителей, в данном случае это 4 и x^2+9, равно нулю, только если один из них будет равен нулю. Но этого быть не может, так как квадрат числа (т.е. x^2) всегда положителен. Таким образом, делаем вывод, что данная функция нулей не имеет, т.е. не обращается в нуль ни при каких x.
Рассмотрим другой пример, похожий на предыдущий, но в данном случае, мы будем иметь дело не с квадратом, а с кубом.
Как было сказано ранее, функция будет принимать нулевое значение в том случае, если один из множителей будет равен нулю. В данном случае, это второй множитель
Решим уравнение
Таким образом, нулём данной функции является значение х=-2.
· Следующий пример из учебника Ю. Н. Макарычева для 9 класса из раздела заданий повышенной трудности. В задании предложено найти область определения и нули функции.
1) Для нахождения области определения любой функции мы всегда проверяем два обстоятельства:
1. Наличие в знаменателе выражения переменных, которые могут обратить его в нуль. Поэтому, если выражение дробное, мы должны потребовать, чтобы знаменатель не был равен нулю, т.е. x+5 не нуль.
2. Наличие переменных под знаком корня. В этом случае мы должны потребовать, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, однако нулём оно быть может:
Таким образом, у нас получилась система из двух неравенств, решив которую мы найдём область определения данной функции:
2) После того, как мы определили область определения функции, можем приступать к нахождению её нулей.
Следуя свойству, гласящему о том, что если числа равны, то равны и их квадраты, получим:
На этом можно было бы поставить точку в решении и, сказав, что функция имеет два нуля, допустить ошибку. На самом деле, мы должны удостовериться, что оба найденных корня действительно являются «подходящими» корнями. Проведём проверку:
Отсюда делаем вывод, что первый корень нам не подходит. Действительно, выражение
справедливо лишь при положительном х. Запишем ответ
Спасибо, что остались на уроке до конца. В комментариях напишите как часто вам встречаются задания на нахождение нулей функции и насколько успешно вы с ними справляетесь.