Называя выражение дробным, мы часто сгребаем и обыкновенные дроби, и выражения, которые действительно называются таковыми в одну кучу. В принципе, для нахождения суммы или разности это не принципиально, но, всё же, указывать на дробь 1/2 и называть его звучным именем "Дробное выражение" не стоит.
На самом деле, выражение называется дробным в том и только в том случае, если знаменатель этого выражения содержит переменные, или же это выражение содержит деление на переменные.
В остальных случаях мы имеем дело с целыми выражениями или обыкновенными дробями.
· Поскольку дробные выражения содержат деление на выражения, зависящие от переменных, а переменные могут принимать различные значения, то возникает закономерный вопрос: «Какие значение не могут принимать переменные, содержащиеся в дробных выражениях?».
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим задачу:
Для того чтобы сделать 10 пирожных «Корзинка» нужно 10 тарталеток и 200 граммов крема. Сколько тарталеток и сколько граммов крема нам потребуется, чтобы сделать 1 пирожное?
Для решения этой элементарной задачи мы 200 граммов крема делим на 10, иначе говоря, распределяем крем, на 10 тарталеток. У нас получается, что на одно пирожное требуется 20 граммов крема. Ключевое слово здесь «распределяем». Так, распределив крем по заготовкам, мы получили новый объект, а именно, пирожное.
А теперь поставим чисто риторический вопрос: «Сколько нужно граммов крема, чтобы сделать 0 пирожных?». Очевидный ответ – 0. Однако если мы попытаемся применить к этой «задаче» такой же метод решения, то получится, что нам придётся делить на ноль. Но мы знаем, что в результате не получим никакого нового объекта, т.е. пирожного, как в вышеуказанной задаче, а значит, деление на ноль не порождает ничего и является бесполезным.
Таким образом, выражение, содержащее деление на ноль, не выражает ничего, а значит, принадлежит пустому множеству. Поэтому, возвращаясь к вопросу о значении переменных в знаменателе дроби, мы ответим на него так: знаменатель дроби должен быть отличен от нуля. Таким образом, поскольку переменные на то так и называются, что могут переменять свои значения, мы должны потребовать, чтобы эти их значения не были равны нулю.
Рассмотрим пример:
Какие значения может принимать x?
Потребуем, чтобы выражения, находящиеся в знаменателях, не были равны нулю:
Таким образом, мы исключили из области допустимых значений два значения переменной.
А теперь зададимся вопросом: «Может ли это выражение быть равным нулю?». Ответ – нет. Однако в данном случае то, что область допустимых значений не содержит тех значений, которые обращают данное выражение в нуль, является чистой случайностью, и у дробного выражения есть шансы быть равным нулю. Это произойдёт в том и только в том случае, если числитель дробного выражения окажется равным нулю.
Рассмотрим пример:
Очевидно, что областью допустимых значений здесь окажутся значения х, не равные 5. Однако значение данной дроби равно нулю при любых значениях переменной, поскольку числитель данной дроби тождественно равен нулю.
· По большому счёту нахождение допустимых значений переменных является не самоцелью, а вспомогательной задачей. Поэтому, прежде чем преступать к решению основной задачи, например, к упрощению выражения или нахождению значения выражения, мы должны потребовать, чтобы знаменатель данного выражения не был равен нулю.
Рассмотрим пример. Упростить выражение:
Задача упрощения выражения сводится к выполнению данных нам действий.
Как было сказано ранее, нам нужно потребовать, чтобы знаменатели ни первой, ни второй дробей не были нулями. Конечно, можно рассматривать каждый знаменатель по отдельности и в таком виде, в каком они нам даны. Технически это не будет ошибкой, но и удобным подходом назвать это тоже нельзя. Поэтому, складывая или вычитая дроби, мы всегда начинаем с разложения на множители.
– этот многочлен не раскладывается на множители, поэтому мы его оставляем без изменений.
Теперь подставим вместо знаменателей полученные разложения и увидим, насколько упростилось нахождение области допустимых значений:
Чтобы выражения имели смысл необходимо, чтобы знаменатели каждой их дробей были отличны от нуля. Для первой дроби имеем:
Для второй дроби нужно потребовать, чтобы ни один из множителей знаменателя, а их у него два, не был нулём, т.е.
Таким образом, мы пришли к ответу x≠-3,x≠3
· Как мы говорили ранее, нахождение ОДЗ (области допустимых значений) редко является самостоятельной задачей. Поэтому теперь рассмотрим непосредственное упрощение данного выражения.
Следует заметить, что разложение на множители знаменателей (а иногда и числителей) – необходимый этап преобразования выражений. Поэтому, даже если нам заведомо известно, что знаменатели отличны от нуля, представлением многочленов в виде произведения мы редко пренебрегаем.
Итак, мы уже имеем разложение данного выражения на множители. Теперь возьмём карандаш и подчеркнём отдельно все множители, которые отыскали.
Оказалось, что у нас их три. Теперь, для того чтобы привести эти две дроби к одному общему знаменателю (а именно это нам нужно, если мы складываем или вычитаем дроби), мы записываем все найденные множители под каждой дробной чертой.
Данное выражение не может быть верным до тех пор, пока мы не домножим обе дроби на те множители, которых нет в их знаменателях:
Знаменатель второй дроби изначально содержал оба множителя, поэтому мы формально умножаем его на единицу.
В результате умножение числителя первой дроби на один из множителей и выполнения сложения, мы получаем:
А теперь алгоритм, следуя которому, можно упростить дробное выражение, если оно содержит операции сложения и вычитания. Для дробных выражений, где есть умножение или деление дробей, следует действовать несколько другим способом.
- Алгоритм сложения (вычитания) дробных выражений
1) Разложить на множители числители и знаменатели дробей.
2) Подчеркнуть все найденный множители и «собрать» из них общий множитель. Заменить множители каждой из дробей полученным общим множителем и записать полученное выражение.
3) Домножить числители каждой из дробей на те множители, которых нет в разложении их знаменателей.
4) Выполнить приведение подобных слагаемых в полученных числителях и сложение (вычитание) дробей.
На этом можно завершить упрощение дробного выражения. Однако, если это возможно, мы применяем формулы сокращённого умножения или вынесение общего множителя за скобки, как это было показано в вышеприведённом примере.
Спасибо, что остались до конца урока. Пожалуйста, поделитесь в комментариях какие задания вы предпочли бы не видеть в самостоятельных и контрольных работах.