Допустим, что у нас есть уравнение x²+1=0. Решая его, в процессе мы понимаем, что казалось бы решений у данного уравнения нету. И вправду, как если находить дискриминант такого уравнения, то он будет отрицателен. Впрочем даже и нахождение дискриминанта не обязательно для того, чтобы понять, что уравнение не имеет действительных корней. Но пользуясь основной теоремой алгебры, доказанной Гауссом мы получаем противоречия, ведь всякое уравнение n-ой степени должно иметь хотя бы 1 корень. Думаю вы уже понимаете, что что-то в этом не так. Спойлер: Решение данное уравнение имеет. Корнями уравнения являются два загадочных числа: i, -i; Обычно их называют мнимыми и в этой статье мы попробуем разобраться, что это такое.
История зарождения
Все начинается с решения кубических уравнений, а вернее с их поиска. Дело в том, что раньше не было универсальной формулы для уравнений степеней выше, чем второй. Итальянский ученый Дель Ферро искал универсальную формулу для решения кубических уравнений. Задача ясное дело непростая, поэтому чтобы облегчить ее, Дель Ферро начал с неполных кубических уравнений вида x³+cx=d. В итоге у него получилось вывести формулу для этого частного случая и она работала! В то время в Италии были популярны математические дуэли. На этих дуэлях два математика давали друг другу разные задачи и кто быстрее с ними справится, тот и выигрывает сражение. Победивший получал авторитет, а проигравший лишался карьеры, ввиду низкого авторитета. В кармане Дель Ферро был козырь, в виде формулы, которую никто не открыл. При смерти Дель Ферро поделился формулой со своим учеником Антонио Фиоре, а тот в свою очередь начал считать, что он не победим. Без какой-либо опаски Антонио вызывает на дуэль Никколо Тарталья, который говорил всем о том, что имеет формулу уравнения третий степени.
Как оказалось позже Тарталья блефовал, но из-за страха перед дуэлью и вправду смог вывести формулу и смог решить все задачи, что ему дал Антонио. Антонио же не смог решить не одного уравнения, после чего с позором проиграл. Тарталья не стал никому раскрывать формулу, ведь она бы утратила ценность и выигрывать в дуэлях стало бы сложнее. Но спустя какое-то время, еще один математик Джероламо Кардано уговорил Николу рассказать ему заветную формулу под клятвой, что он никому ее не расскажет.
Как Кардано узнает позже первооткрывателем формулы был вовсе не Тарталья, а Дель Ферро. Это означало, что скрывать формулу нужды не было, тем более, что Кардано поменял ее, вернув в условия bx². Кардано пишет об этой формуле в своей книге Великое Искусство. Тарталья был недоволен этим и после этого пытался судится с Кардано, но безуспешно. После этого Тарталья вызывал на дуэль Кардано, но тот отказался, а вместо него на дуэль вышел его ученик Луиджи Феррари, который выиграл Тарталью. После этого Тарталья полностью потерял репутацию, оставшись без работы. Но он не остановился и все равно пытался отомстить Кардано, что, кстати у него у него вышло сделать. Он подкупил сына Кардано, чтобы тот дал показания против отца и Джероламо посадили в тюрьму. Вот такие вот "перестрелки" были у итальянских математиков. Но вернемся к нашим кубическим уравнениям.
Проблема формулы
У формулы была одна проблема при подстановке некоторых чисел. Дело в том, что любое уравнение нечетной степени имеет хотя бы один вещественный корень. Это видно на графике функции f(x) = x³. Но при подстановке в формулу некоторых чисел она ломалась. В процессе решения появлялись странные и непонятные квадратные корни из отрицательных чисел. Кардано взял уравнение x³-15x-4=0 и при подстановке всех чисел в формулу получалось такое выражение:
Если посмотреть на график функции этого многочлена, то с уверенностью можно сказать, что корни есть и все трое видны. Но почему-то формула дала осечку... Значит она не универсальна? Решить данную проблему Кардано при жизни так и не смог, но он точно знал, что решение есть
Путь к решению
Проблему Кардано унаследовал его ученик Рафаэль Бомбелли, который подошел к ее решению таким образом: "Хорошо, допустим, что работать с корнями из отрицательных чисел мы не умеем, но вот с остальными выражениями мы работать умеем. Давайте приведем всю запись к такому виду"
Так Бомбелли и сделал, конечно не без трудностей, но все же у него получилось.
Далее Бомбелли поступил хитро и уже зная корень подогнал его.
В конце концов у Бомбелли получилось решить это и о чудо, корни из минус единицы просто сократились, а в ответе получилась та самая заветная четверка. Так и получается, что если мы предполагаем существование корней из отрицательных чисел, то формула работает. И казалось бы, открытие, столько новых возможностей, но сам Бомбелли сказал, что считает проделанную собой работу лишь "Математическими костылями" и все, что было проделано, больше выглядит так, как будто кто-то специально подогнал числа. Но тем не менее, именно так люди впервые поработали с корнями из отрицательных чисел.
Последующие события
Далее как вы понимаете такие числа получили большую критику со стороны математиков, считавших, что это абсурд. В то время и отрицательные числа не очень-то и признавались, а после появления радикалов из этих чисел вопросов стало еще больше. Но тем не менее, такие числа все равно продолжали развиваться. Рене Декарт в 1637 предложил называть корень из минус единицы Мнимыми числами. Не трудно заметить, что такое название сохранилось и по сей день.
Гофрид Лейбниц вовсе выражал свое недовольство к мнимым числам, помимо того, что считал их бесполезными.
Но существенный толчок в развитии мнимых единиц совершил Леонард Эйлер, который предложил обозначать такие числа буквой i (Imaginary), дабы избегать ошибки, которая возникала, если умножать два корня друг на друга.
Эйлер так же проделал много работ с этими числами, найдя им применение не только в решении уравнений.
В 1831 году Карл Гаусс предложил название комплексные, для уже привычных на то время для математиков чисел.
При этом он первый начал критиковать название мнимые, считая, что такое название вызывает странное ощущение у людей, словно с этими числами связана глубочайшая тайна.
Переход из одного мира в другой
Одним из доказательств того, что комплексные числа должны существовать в математике и имеют смысл это их алгебраическая замкнутость относительно всех операций. Сейчас вкратце объясню:
Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения, а это означает, что складывая натуральные числа мы не выйдем за пределы этого множества. Но вот уже на операции вычитания мы можем отнять большее число от меньшего, а значит можем получить отрицательные числа, которые в свою очередь относятся к множеству целых чисел. Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, но вот попробовав поделить эти числа, мы можем получить нецелый ответ, который будет относится к множеству рациональных чисел. Рациональные числа замкнуты относительно операций сложения, вычитания, деления и умножения. Но вот при попытке извлечь корни вновь произойдет форс-мажор: не все корни можно извлечь так, чтобы получилось рациональное число. Так мы получаем иррациональные числа, которые замкнуты относительно операций сложения, вычитания, возведения в степень и извлечения квадратных корней из неотрицательных чисел. Но вот при попытке извлечь корень из отрицательных чисел мы тоже потерпим крах... Но это только если мы будем во множестве рациональных чисел. Но вот во множестве комплексных чисел такое возможно, а это означает, что это множество замкнуто относительно всех операций. Так и получается, что мнимые числа стали вовсе не мнимыми.
Применение комплексных чисел
Комплексные числа очень часто появляются в квантовой механике. Например в уравнении шредингера фигурирует мнимая единица. В теории относительности энштейна корни из отрицательных чисел тоже имеют не малую роль. Так же эти числа успели побывать в химии, теории струн, фотонике и множестве других наук. В общем и целом эти числа нашли себе применение, а что самое главное перестали быть чем-то странным и непонятным для математиков.