В группу линейчатых поверхностей относятся гранные поверхности.
Гранные поверхности образованы движением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m (см. рис. 1).
Гранные поверхности состоят из пересекающихся плоскостей, называемые гранями. Грани, пересекаясь между собой образуют рёбра. Смежные ребра сходятся в вершинах гранной поверхности. Совокупность всех ребер многогранника называют его сеткой.
К гранным относятся призматические и пирамидальные поверхности.
Если все образующие гранной поверхности параллельны, то поверхность называется призматической. Поверхность с замкнутой ломанной направляющей m (основанием) и взаимно параллельными рёбрами называется призмой (см. рис. 2).
Призма является прямой, если образующая перпендикулярна основанию (см. рис. 3). Если боковые грани призмы не перпендикулярны плоскости основания, то такая призма называется наклонной.
Поверхность называется пирамидальной, если образующие гранной поверхности проходят через одну точку, называемой вершиной. Поверхность с замкнутой ломанной направляющей m (основанием) и пересекающимися рёбрами называется пирамидой (см. рис. 4).
Призма и пирамида являются многогранниками. Многогранником называется замкнутая гранная поверхность, а также тело, образованное этой поверхностью.
Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который находиться по одну сторону от любой его грани. В противном случае многогранник называется невыпуклым.
Выпуклые многогранники делятся на правильные и неправильные.
Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.
Признаки правильного многогранника:
- все его грани должны являться равными правильными многоугольниками;
- в каждой его вершине должны сходиться одинаковое число ребер;
- должны образовываться равные двугранные углы при всех ребрах.
Существует 5 правильных многогранников:
Тетраэдр составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Следовательно, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер (см. рис. 5).
Куб (гексаэдр) составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Значит куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер (см. рис. 5).
Октаэдр составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равен 240°. Получается, что октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер (см. рис. 5).
Додекаэдр составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Получается, что додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер (см. рис. 5).
Икосаэдр составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершин равна 300°. То есть икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер (см. рис. 5).
Правильные многогранники также называются платоновыми телами. Никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.
Связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере, устанавливает теорема Эйлера.
Теорема Эйлера звучит следующим образом: «Сумма числа граней и вершин многогранников, топологически эквивалентных сфере, равна числу ребер, увеличенному на 2» или В-Р+Г=2