В этой статье дадим определение кривых линий и разберемся с их общими характеристиками.
Как вы уже знаете, кривую линию можно рассматривать как траекторию, описанную движущейся точкой в пространстве. Но она также может являться:
- проекцией другой кривой;
- линией пересечения двух поверхностей;
- множеством точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством;
- прочие варианты.
Линии бывают плоские, когда все точки кривой лежат в плоскости, и пространственные, если это условие не выполняется.
Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек, а точки кривой определяются их координатами. Если координаты любой точки кривой удовлетворяют некоторому уравнению, то такие кривые называются закономерными.
Закономерные кривые линии образуются по определенному закону и могут быть заданы графически и аналитически.
Аналитически плоскую кривую линию можно задать вот таким уравнением: F(x,у)=0. Может оказаться, что данному уравнению не удовлетворяют координаты ни одной действительной точки на плоскости. Тогда считается, что уравнение определяет мнимую кривую.
Пространственная кривая, если она рассматривается как линия пересечения двух поверхностей, задаётся системой двух уравнений F(x,у)=0; f(x,у)=0 (см. рис. 1).
Существуют также незакономерные кривые, образование которых носит эмпирический характер. Незакономерные кривые линии задаются только графически на чертеже.
Закономерные кривые, определяемые в декартовой системе координат алгебраическим уравнением многочлена в степени n от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими.
Порядком алгебраической кривой линии называется степень ее уравнения.
Геометрический порядок плоской алгебраической кривой линии характеризуется наибольшим числом точек ее пересечения с прямой линией (см. рис. 2).
Геометрический порядок пространственной алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек ее пересечения с плоскостью общего положения (см. рис. 3).
К линиям первого порядка относятся прямые линии. Линии второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола и парабола. Из линий третьего порядка наиболее известны локон Аньези, декартов лист, полукубическая парабола, строфоида и др. Из линий четвертого порядка – улитка Паскаля, конхоида Никомеда, лемниската Бернулли и др. Из линий высших порядков – кривая Ламее и др.
Если закономерная кривая определяется неалгебраическим уравнением, то она относится к числу трансцендентных.
Примеры трансцендентных кривых:
- графики тригонометрических функций;
- графики показательных функций;
- графики логарифмических функции;
- класс циклоидальных (циклоидных) кривых;
- спирали;
- другие кривые.
Любую кривую линию характеризуют её локальные свойства.
Локальные элементы кривой.
Каждая из кривых линий обладает большей или меньшей степенью искривленности. Эта искривленность задается некоторым числом и называется кривизной. Кривизна K в точке M – это число, характеризующее отклонение кривой (в малой ее части, заключающей точку M) от прямой линии.
Радиусом кривизны r в точке M кривой называется величина, обратная кривизне. Чем больше искривлена кривая вблизи заданной точки, тем больше кривизна и меньше радиус кривизны в этой точке. В общем случае для любой точки M кривизна и радиус кривизны различны, они характеризуют кривую на бесконечно малом участке, составляющем окрестность точки.
Секущей называется прямая, пересекающая кривую в одной, двух или более точках (см. рис. 4).
Касательная к кривой в точке M определяется как предельное положение секущей, проходящей через М и соседнюю точку N кривой, при условии, что N стремится к M. Касательная указывает направление движения точки (см. рис. 5).
Нормаль для плоских кривых – это прямая, перпендикулярная касательной в точке касания M (см. рис. 6).
Длина участка кривой определяется в общем случае приближенно путем аппроксимации. Аппроксимация (от лат. «proxima» – приближение) – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми. Кривая линия заменяется вписанной в нее ломаной линией с максимально большим числом ее сторон, достаточно хорошо передающей форму кривой (см. рис. 7).
Инвариантные свойства проецирования кривой:
- Проекции кривой в общем случае есть кривые. В частном случае плоская кривая проецируется в прямую, если она принадлежит проецирующей плоскости.
- Если точка лежит на кривой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях этой кривой (см. рис. 8а).
- Если прямая касается кривой в пространстве, то проекции этой прямой касаются одноименных проекций кривой (см. рис. 8б).
- Секущая кривой проецируется как секущая проекции кривой.
- Кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка.