Как решать задачи на нахождение значений логарифмов (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как решать задачи на нахождение значений логарифмов, используя примеры, которые могут встретиться на ОГЭ.

Понимание определения логарифма

Логарифм числа 𝑏 по основанию 𝑎 — это такое число 𝑐, что 𝑎^𝑐=𝑏. Обозначается это так: log𝑎⁡(𝑏)=𝑐.

Пример: log2(⁡8)=3, потому что 2^3=8.

Основные свойства логарифмов

1. Логарифм произведения: log𝑎⁡(𝑏𝑐)=log𝑎(⁡𝑏)+log𝑎⁡(𝑐)

2. Логарифм частного: 

log𝑎⁡(𝑏/𝑐)=log𝑎(⁡𝑏)−log𝑎(⁡𝑐)

3. Логарифм степени: log𝑎⁡(𝑏^𝑐)=𝑐log𝑎⁡(𝑏)

4. Логарифм единицы: log𝑎(⁡1)=0, потому что 𝑎^0=1

5. Логарифм основания: log𝑎(⁡𝑎)=1

, потому что 𝑎^1=𝑎

Примеры решения задач

Пример 1. Найти значение log3(⁡27)

1. Запишем уравнение в экспоненциальной форме: 3^𝑥=27.

2. Преобразуем 27 в степень тройки: 27=3^3.

3. Получаем уравнение: 3^𝑥=3^3.

4. Поскольку основания равны, то и показатели степеней должны быть равны: 𝑥=3.

5. Следовательно, log3(⁡27)=3.

Пример 2. Найти значение log5(⁡1)

1. Запишем уравнение в экспоненциальной форме: 5^𝑥=1.

2. Мы знаем, что любое число в степени 0 равно 1: 5^0=1.

3. Следовательно, 𝑥=0.

4. Таким образом, log5(⁡1)=0.

Пример 3. Найти значение log2(16)

1. Запишем уравнение в экспоненциальной форме:

2^x = 16

2. Преобразуем 16 в степень двойки:

16 = 2^4

3. Получаем уравнение:

2^x = 2^4

4. Поскольку основания равны, то и показатели степеней должны быть равны:

x = 4

5. Следовательно, log2(16) = 4.

Решение более сложных задач

Пример 4. Найти значение log2(32) - log2(4)

1. Используем свойство логарифмов:

loga(b) - loga(c) = loga(b/c)

2. Применим это свойство:

log2(32) - log2(4) = log2(32/4)

3. Упростим дробь:

32/4 = 8

4. Получаем: log2(8)

5. Преобразуем 8 в степень двойки:

8 = 2^3

6. Следовательно, log2(8) = 3

Проверка и практика

Важно не только понимать теорию, но и практиковаться в решении различных задач. Попробуйте решить следующие задачи самостоятельно:

1. Найти значение log4(64).

2. Найти значение log7(49).

3. Найти значение log3(81) - log3(9).

Ответы для проверки:

1. log4(64) = 3 (потому что 4^3 = 64).

2. log7(49) = 2 (потому что 7^2 = 49).

3. log3(81) - log3(9) = 2 (потому что log3(81) = 4 и log3(9) = 2, а 4 - 2 = 2).

Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять, как решать задачи на нахождение значений логарифмов!