Давайте разберем, как решать задачи на нахождение значений логарифмов, используя примеры, которые могут встретиться на ОГЭ.
Понимание определения логарифма
Логарифм числа 𝑏 по основанию 𝑎 — это такое число 𝑐, что 𝑎^𝑐=𝑏. Обозначается это так: log𝑎(𝑏)=𝑐.
Пример: log2(8)=3, потому что 2^3=8.
Основные свойства логарифмов
1. Логарифм произведения: log𝑎(𝑏𝑐)=log𝑎(𝑏)+log𝑎(𝑐)
2. Логарифм частного:
log𝑎(𝑏/𝑐)=log𝑎(𝑏)−log𝑎(𝑐)
3. Логарифм степени: log𝑎(𝑏^𝑐)=𝑐log𝑎(𝑏)
4. Логарифм единицы: log𝑎(1)=0, потому что 𝑎^0=1
5. Логарифм основания: log𝑎(𝑎)=1
, потому что 𝑎^1=𝑎
Примеры решения задач
Пример 1. Найти значение log3(27)
1. Запишем уравнение в экспоненциальной форме: 3^𝑥=27.
2. Преобразуем 27 в степень тройки: 27=3^3.
3. Получаем уравнение: 3^𝑥=3^3.
4. Поскольку основания равны, то и показатели степеней должны быть равны: 𝑥=3.
5. Следовательно, log3(27)=3.
Пример 2. Найти значение log5(1)
1. Запишем уравнение в экспоненциальной форме: 5^𝑥=1.
2. Мы знаем, что любое число в степени 0 равно 1: 5^0=1.
3. Следовательно, 𝑥=0.
4. Таким образом, log5(1)=0.
Пример 3. Найти значение log2(16)
1. Запишем уравнение в экспоненциальной форме:
2^x = 16
2. Преобразуем 16 в степень двойки:
16 = 2^4
3. Получаем уравнение:
2^x = 2^4
4. Поскольку основания равны, то и показатели степеней должны быть равны:
x = 4
5. Следовательно, log2(16) = 4.
Решение более сложных задач
Пример 4. Найти значение log2(32) - log2(4)
1. Используем свойство логарифмов:
loga(b) - loga(c) = loga(b/c)
2. Применим это свойство:
log2(32) - log2(4) = log2(32/4)
3. Упростим дробь:
32/4 = 8
4. Получаем: log2(8)
5. Преобразуем 8 в степень двойки:
8 = 2^3
6. Следовательно, log2(8) = 3
Проверка и практика
Важно не только понимать теорию, но и практиковаться в решении различных задач. Попробуйте решить следующие задачи самостоятельно:
1. Найти значение log4(64).
2. Найти значение log7(49).
3. Найти значение log3(81) - log3(9).
Ответы для проверки:
1. log4(64) = 3 (потому что 4^3 = 64).
2. log7(49) = 2 (потому что 7^2 = 49).
3. log3(81) - log3(9) = 2 (потому что log3(81) = 4 и log3(9) = 2, а 4 - 2 = 2).
Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять, как решать задачи на нахождение значений логарифмов!