Кёнигсберг (ныне Калининград) был построен на берегу реки Преголя. Из-за этого получилось так, что город был разделен на четыре части – два острова и два берега реки. Для упрощения жизни жителей Кёнигсберга было построено семь мостов, каждый из которых соединял определенные части города. Существует легенда, что досугом горожан были попытки пройти весь город так, чтобы пересечь каждый мост только один раз. Но никто, кроме Леонарда Эйлера, так и не смог решить эту задачу или доказать, что это невозможно. Что именно сделал Эйлер и при чём тут топология?
В 1735 году мэр соседнего города и по совместительству математик Карл Леонард Готлиб Элер обратился к Леонарду Эйлеру за помощью в решении этой задачи, которая уже много лет не давала покоя всем интересующимся. Изначально Эйлер, на тот момент прославленный и успешный математик, решил, что эта задача не достойна его внимания. Со временем его удалось убедить, и тогда Эйлер понял, что эта задача относится к на тот момент неизвестному типу математики – к топологии, также известной как “геометрия положений”. Задача о семи мостах стала первым известным практическим применением топологии.
Эйлер схематически изобразил структуру, которую образуют мосты и назвал её "графом". Точки на нём он назвал "вершинами", а соединяющие их линии – "ребрами". Эйлер мог бы перебирать бесчисленное количество произвольных маршрутов, но это заняло бы слишком много времени, поэтому он пришел к нескольким правилам. Первое – число нечетных вершин графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин. Под нечетными вершинами тут подразумеваются вершины, из которых выходит нечетное количество рёбер. Второе – если у связного графа все вершины четные, то его можно начертить, не отрывая руки от бумаги, причем неважно, где начинать. Третье – если в связном графе две нечетные вершины, то его можно начертить, не отрывая руки от бумаги, но начинать надо в одной из нечетных вершин, а закончить в другой. И четвертое – граф с более чем двумя нечётными вершинами построить одним движением невозможно.
При изображении графа Эйлер взял четыре области города за четыре вершины, а рёбра – за мосты. Получилось так, что из первой вершины выходит три ребра, из второй – пять ребер, из третьей – три ребра и из четвертой тоже три ребра. Как можно заметить, все четыре вершины графа являются нечётными. Наверняка вы уже поняли, что задача о мостах Кёнигсберга не имеет решений, ведь в ней целых четыре нечетных вершины, а максимальное допустимое количество нечетных вершин для прохождения всех мостов за один раз — это две. То есть невозможно пройти весь город так, чтобы пересечь все мосты по одному разу.
Правила, которые вывел Леонард Эйлер стали универсальными для решения всех задач такого типа. Вы можете попробовать решить эту задачу сами, если не верите решению Эйлера, но у вас вряд ли получится это сделать. Что же касается самой истории с семью мостами – у нее есть не менее занимательное завершение. По легенде, группа ученых захотела подшутить над императором Вильгельмом II и предложила ему решить эту задачу. Император долго думал и пришел к еще более интересному решению, чем решение Эйлера. Он велел построить восьмой мост, который так и назвали - Императорский. К сожалению, восьмой мост был разрушен в ходе бомбардировки во время Второй мировой войны. На его опорах в 2005 году был построен Юбилейный мост, чье открытие приурочили к 750-летнему юбилею города.