Сегодняшнюю статью я решил написать после просмотра англоязычных блогеров-математиков, которые разбирали задание из одной "заморской" олимпиады по математике, но разбирали её все одинаково и как-то странно и криво. Задание простое. Вычислите значение вот такого вот выражения:
Ну и у всех этих блогеров было одно и то же решение, что называется "идти на пролом" или "в лоб":
До ответа они, конечно, все доходили, но я удивлен, почему никто из них не предложил более изящного решения, которое, правда, требует некоторых дополнительных знаний по математике. Сейчас расскажу.
Давайте посмотрим еще раз на этот пример. Вообще, на самом деле, в скобках написано "золотое сечение". Ну а золотое сечение связано с такой знаменитой последовательностью, в которой два первых числа – это единицы, а каждое следующее число получается как сумма двух предыдущих:
Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи. И на самом деле каждое n-е число в этой последовательности можно напрямую посчитать по формуле, которая называется формулой Бине, которая выглядит следующим образом:
В ней как раз присутствует это самое золотое сечение. Её и можно использовать для того, чтобы посчитать это число в 12-й степени. В нашем случае n равно 12, поэтому давайте перепишем, вместо n напишем 12, ну и 12-е число Фибоначчи равно 144:
Здесь, правда, у нас есть еще вторая скобка, в которой 1 минус корень из 5 на 2, но это не проблема. Мы можем просто использовать такое равенство:
Оно, очевидно, правильное. Раскройте скобки мысленно. В числителе будет разность квадратов. Будет -4 делить на 4, то есть -1. Отсюда можно выразить вторую скобку. Это будет минус единица, делённая на первую скобку, и подставить в предыдущее уравнение. Но поскольку выражение стоит в 12-й степени, то минус исчезает и получается вот такое выражение:
Обозначим то, что требуется найти за х. Тогда получается вот такое простое уравнение:
Умножим обе части на корень из пяти и еще теперь на х в квадрате, который не равен нулю. Получается вот такое квадратное уравнение:
Осталось только его решить. Дискриминант равен вот такому числу:
Я специально не стал его вычислять, потому что из него надо потом извлекать будет корень. И так уж оказывается, что этот корень - целое число, нужно только понять какое. А как это просто понять устно?
Можно сделать вот так. Четверка явно много меньше, чем то, что написано слева. Давайте пока про нее забудем:
Корень из пяти это примерно 2.3. Это просто надо знать. Значит, это будет примерно вот так:
Теперь считаем то, что у нас в скобках. Это 331.2. Это сделать просто столбиком можно, без калькулятора:
Ну и теперь нам надо подумать, какое все-таки это может быть целое число. Это не может быть 331, поскольку мы везде уменьшали число, когда делали оценку. Ну и кроме того, 1 на конце в квадрате тоже будет 1, а должно быть 4. Значит, не 1, а 2. Это уже можно тоже столбиком проверить. Действительно, тогда дискриминант равен:
Из него легко извлекается квадратный корень. Получается, что первый корень уравнения вот такой:
Ну а второй корень будет отрицательный, это просто следует из теоремы Виета, и он нам не подходит. То есть мы получили ответ.
Вот такое решение. Как видите, иногда полезно знать чуть больше, чем дает школьная программа в математике. Так что расширяйте свои математические горизонты, этого я вам искренне желаю, дорогие школьники.
Ну а на сегодня все, с вами был репетитор по математике и физике (мой сайт и Дзен), всего вам доброго и до свидания.