Таргетирование дюрации

Преамбула

Управление портфелем облигаций часто использует стратегии таргетирования дюрации для оптимального баланса между риском и доходностью. Эти стратегии поддерживают стабильную дюрацию портфеля за счёт периодической ребалансировки, обеспечивая заданный уровень процентного риска. Практические подходы включают портфели, следующие за индексом, и лестничные структуры.

Как показали Мартин Л. Лейбовиц и его соавторы, ключевая особенность стратегии таргетирования дюрации заключается в ее способности концентрировать распределение доходностей вокруг точки минимальной дисперсии, которая достигается, когда дюрация портфеля составляет примерно половину инвестиционного горизонта.

Подробный анализ некоторых стохастических моделей процентных ставок для портфелей с постоянной дюрацией (включая случаи плоской и произвольной кривой доходности) представлен в другой нашей работе.

Стратегии на рынке облигаций

Инвесторы на рынке облигаций могут преследовать разные цели:

• спекулировать на изменениях уровня процентных ставок или формы кривой доходности
• держать облигации до погашения для получения стабильного дохода
• иммунизировать свой портфель от процентного риска, чтобы достичь целевой стоимости
• таргетировать определенную дюрацию, чтобы управлять чувствительностью портфеля к изменениям ставок или воспроизвести доходность эталонного показателя⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀───── • ────

Спекулятивным может считаться портфель, который инвестор собирается вскоре продать. Обычно с этой целью приобретаются длинные ОФЗ в расчете на рост их стоимости, если начнется снижение ставок. Инвестор ожидает, что реализованная доходность (HPR) его вложений за время смягчения ДКП превысит эффективную доходность к погашению (YTM).

Он принимает ценовой риск, а его ожидания могут не оправдаться. Приближенной мерой этого риска выступает модифицированная дюрация, связывающая мгновенный сдвиг доходности с относительным изменением цены облигации.

Если ставки не упадут, а напротив, вырастут, спекулянту грозит убыток — полученный НКД может не перекрыть неблагоприятную ценовую разницу.

Также существуют спекулятивные стратегии, основанные на прогнозировании формы спотовой кривой. Например, стратегия “скольжение по кривой доходности” (riding the yield curve) позволяет инвестору заработать так называемый “rolling yield” за счет положительного наклона кривой, если ее форма существенно не изменится.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀───────────── • ─────────────

Инвестор, удерживающий облигации до погашения, стремится реализовать HPR, близкую к эффективной ставке (YTM), которая была на момент покупки бумаг. Однако он при этом принимает риск реинвестирования. Этот риск связан с неопределенностью доходности от вложений полученных купонов (а также частично погашаемого номинала в случае амортизируемых облигаций). Если процентные ставки при реинвестировании окажутся ниже, чем изначально рассчитанная YTM, фактическая прибыль будет меньше ожидаемой.

Приближенной мерой волатильности накопленного дохода служит разность модифицированных срока до погашения и дюрации. Она показывает насколько в процентном отношении вырастет этот доход при увеличении ставки реинвестирования r.r. на 100 б. п.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Поиск баланса между ценовым риском и риском реинвестирования привел к разработке стратегий иммунизации. Они направлены на создание облигационных портфелей, гарантирующих определенный доход на заданном горизонте, независимо от величины и направления движения процентных ставок. Иммунизация достигается за счет уравновешивания изменения стоимости портфеля с доходом от реинвестирования его денежных потоков. Иммунизированные портфели, называемые целевыми (dedicated portfolio), полностью ликвидируются по мере погашения обязательств.

Различают два основных типа иммунизации: однопериодную и многопериодную. Однопериодная используется для покрытия одного конкретного обязательства с фиксированным сроком уплаты, а многопериодная — для обеспечения серии необходимых платежей, например, по пенсионному плану. В обоих случаях необходимым условием является приравнивание приведенных стоимостей и дюраций активов и обязательств.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Исследуем в качестве примера динамику будущей стоимости бескупонной и купонной облигаций. Обе бумаги погашаются через три года и приобретены при начальной доходности (YTM) 15%. Допустим, что изменения YTM носят случайный характер, но с определенной тенденцией к снижению.

На рисунках представлены выборочные траектории YTM, цены (или накопленной стоимости) и реализованной доходности (HPR). Использовано непрерывное начисление процентов и выплаты купона. Показатели HPR в начальной части графиков имеют сильный разброс, поэтому они не отображены, чтобы не смазывать общую картину.

Бескупонная облигация, удерживаемая до погашения. Номинал 1000 руб, дюрация 3 года, начальная YTM 15%

Спекулянт рассчитывает на сценарий последовательного смягчения ДКП. Тогда, при каких-то вариантах он смог бы заработать свыше 40% на свои вложения на коротком горизонте (см. отдельные траектории HPR). Однако существует вероятность, что HPR за этот же период будет отрицательным.

Приобретая бескупонную облигацию, долгосрочный инвестор может быть уверен, что в момент погашения он реализует доходность, равную начальной YTM. Если он вместо дисконтной выберет купонную облигацию с тем же сроком погашения, его фактическая доходность может оказаться ниже 15%, что хорошо видно для некоторых выборочных траекторий.

Можно также заметить, что у купонной облигации есть временная точка, где большинство значений HPR пересекает линию 15%. Это следствие принципа иммунизации: на горизонте вблизи дюрации ценовой риск и риск реинвестирования частично уравновешиваются, поэтому реализованная доходность в этот момент близка к начальной YTM.

Портфели с постоянной дюрацией

Рассмотренные выше стратегии характеризуются уменьшением дюрации облигационных портфелей с течением времени. В отличие от них, таргетирование дюрации предусматривает ее сохранение на фиксированном уровне. Какой в этом может быть смысл?

Инвестиционный портфель обычно включает различные классы активов: акции, облигации, фонды недвижимости, деривативы и т.д. Каждый из этих инструментов обладает характерными параметрами доходности и риска. Определив свой риск-профиль, инвестор в дальнейшем старается ему следовать.

Для облигаций риск большей частью связан с дюрацией, которая показывает, насколько их стоимость чувствительна к изменениям процентных ставок. Выбор конкретной дюрации задает эталонный уровень риска для облигационной части портфеля.

Например, инвестор может решить, что 25% его инвестиционного портфеля должны составлять трехлетние облигации. В дальнейшем он поддерживает такую структуру с помощью периодической ребалансировки. Это достигается за счёт продажи облигаций с укороченным сроком до погашения и покупки новых, тем самым обеспечивая стабильную дюрацию.

Рост рыночных ставок приводит к снижению цен облигаций, но при этом увеличивает начисление дохода (accruals). Если ставки падают, происходит обратное: текущая стоимость облигаций растет, но доход начисляется медленнее. Но ставки не могут вечно двигаться в одном направлении, поэтому переоценка рано или поздно меняет знак. Начисление дохода, с другой стороны, происходит постоянно, хотя и с разной скоростью. В итоге накопленный доход компенсирует колебания цен, делая таргетирование дюрации эффективной стратегией управления облигационными портфелями.

Ниже приведен идеализированный пример динамики стоимости портфеля с постоянной дюрацией 3 года, когда процентные ставки имеют свойство возвращаться к среднему значению 15%. Видно, что темпы роста накопленной стоимости выше, когда ставки падают, и ниже в противном случае. В целом, капитал инвестора неуклонно растет. Для сравнения пунктиром обозначена зависимость накопленной стоимости от времени при фиксированной ставке YTM = 15%.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Таргетирование дюрации также используется для получения результатов, сопоставимых с показателями доходности конкретного бенчмарка. Это происходит, если инвестор применяет стратегию следования выбранному индексу облигаций. Дюрация такого индекса отличается стабильностью, оставаясь в рамках определенного диапазона.

На сайте Мосбиржи представлено больше сотни различных индексов облигаций, сгруппированных в зависимости от дюрации, кредитного качества и котировального уровня:

Например, в индекс RUGBITR3Y входят ОФЗ-ПД срочностью от 1 до 3 лет, а его дюрация находится в пределах от 650 до 750 дней:

Впрочем, инвестору не обязательно самому держать портфель из индексных бумаг, вместо этого он может приобрести инвестиционный пай фонда облигаций (ПИФ или ETF/БПИФ).

Список всех российских фондов можно найти на специализированных финансовых сайтах-скринерах. К сожалению, число ETF пока невелико. Тому же RUGBITR3Y соответствует только фонд УК "МКБ Инвестиции" с тикером SUGB. Фонды денежного рынка (LQDT, SBMM и др.) таргетируют нулевую дюрацию. Нужно помнить, что паевые инвестиционные фонды взимают комиссию за управление, которая включает плату УК, депозитарию и прочие расходы.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Хорошо известная “лестничная” стратегия фактически таргетирует дюрацию. Портфель в ней структурируется таким образом, чтобы облигации равномерно распределялись по срокам погашения. В каждую “ступень” лестницы вкладывается примерно одинаковое количество средств.

Инвестор устанавливает размер шага между “ступенями” и общую “высоту” лестницы. К примеру, он может вложить по 100 тыс. руб. в годовые, двухлетние и трехлетние бумаги. Средневзвешенная дюрация получившегося портфеля равна 2-м годам. Через год средства от погашенных коротких облигаций направляются на покупку новых трехлеток и дюрация восстанавливается. Небольшие отклонения в пропорциях корректируются дополнительной ребалансировкой.

Индекс полной доходности российских гособлигаций RGBITR схож по структуре с лестничным портфелем. Он включает наиболее ликвидные ОФЗ-ПД с дюрацией свыше одного года и рассчитывается по методу совокупного дохода. Пересмотр состава бумаг в индексе происходит ежеквартально.

Индекс Мосбиржи государственных облигаций RGBITR

Вычисление HPR для портфеля постоянной дюрации

В начале сделаем небольшое замечание. До этого мы определяли цены бескупонных облигаций, а также строили форвардную и спотовые кривые для текущего момента времени (t = 0) Однако можно обобщить полученные ранее формулы на случай произвольного t . Т.е. запись вида yₜ,ᴛ нужно понимать как доходность облигации, погашаемой в момент T, и определяемая в момент t. Наблюдатель продолжает находиться здесь и сейчас, но оценивает параметры облигации, которые возникнут в будущем. Понятно, что они неизвестны заранее и будут результатом модели или прогноза.

Кроме того, мы будем проводить расчеты для случая непрерывного начисления процентов. Как известно, эффективная и непрерывно начисляемая ставки связаны соотношением:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀1+ s = exp(y)

Соответственно, цена дисконтной облигации с единичным номиналом (дисконт-фактор), форвардные ставки и доходность за период владения будут иметь следующий вид, см таблицу:

Характеристики бескупонной облигации в случаях годового и непрерывного начисления

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

В нашем исследовании мы будем исходить из предположений плоской кривой доходности и отсутствия риска дефолта.

Самый простой портфель с таргетируемой дюрацией состоит из бескупонных облигаций с общим сроком погашения. Для поддержания дюрации на целевом уровне портфель постоянно ребалансируется.

Покажем, что реализованную доходность такого портфеля за малый промежуток времени можно разбить на две составляющих: начисленные проценты (accruals) и переоценку (price change)

Стоимость портфеля с постоянной дюрацией в некоторый момент t можно записать как

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀Vₜ = Nₜ∙𝑃ₜ = Nₜ∙exp( —yₜ∙D),⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (1)

где Nₜ — количество облигаций, yₜ — доходность к погашению, D — дюрация. Обратим внимание, что, в отличие от формулы для цены обычной бескупонной облигации, вместо зависящего от времени фактора (T — t) в (1) стоит константа D; этим отражается факт таргетирования дюрации. В предположении плоской спотовой кривой доходность yₜ не зависит от дюрации облигации. Поэтому, она не содержит T в качестве индекса в формуле (1).

Допустим, что по прошествии времени Δt доходность yₜ мгновенно изменилась на величину Δyₜ. Тогда новая стоимость позиции:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀V(t + Δt) = Nₜ∙𝑃(t + Δt) = Nₜ∙exp( —[yₜ+Δyₜ]∙[D — Δt]) ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (2)

Для того чтобы отразить факт ребалансировки, выражение (2) удобно переписать в виде:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀V(t + Δt) = Nₜ∙exp[(yₜ + Δyₜ)∙Δt]∙exp(—[yₜ+Δyₜ]∙D)⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (2*)

Видно, что общее количество бумаг возрастает до N(t + Δt) = Nₜ∙exp[(yₜ + Δyₜ)∙Δt], а цена новой облигации с единичным номиналом составит exp(—[yₜ+Δyₜ]∙D).

При непрерывном начислении процентов реализованная за время Δt доходность портфеля hₜ(Δt) равна

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀hₜ(Δt) = ln ([V(t + Δt)/Vₜ)] /Δt ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (3)

Используя (1) и (2), получим:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀hₜ(Δt) ∙Δt = yₜ∙Δt + Δyₜ∙Δt — D∙Δyₜ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (4)

При малых Δt членом Δyₜ∙Δt можно пренебречь (по сути, это величина второго порядка малости) и, переходя к дифференциалам, записать выражение для мгновенной реализованной доходности

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀hₜ∙dt = yₜ∙dt — D∙dyₜ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (5)

Из него хорошо видно, что прирост стоимости портфеля складывается из

1. начисленных за бесконечно малый промежуток времени процентов, yₜ∙dt,
2. переоценки за счет изменения доходности к погашению, —D∙dyₜ.

Мгновенная реализованная доходность hₜ совпадает с доходностью к погашению yₜ только в случае отсутствия колебаний ставок.

Для того чтобы теперь найти полную доходность за период владения, т.е. HPR, необходимо проинтегрировать выражение (5) и разделить полученный результат на число лет удержания позиции.

Модель линейного тренда процентных ставок

Основной вклад в исследования свойств портфелей с постоянной дюрацией внес известный американский финансист Мартин Л. Лейбовиц, опубликовавший с соавторами несколько фундаментальных работ [1-4] Используя ежегодное начисление процентов, они на примере бескупонных облигаций показали, что при линейном тренде ставок HPR такого портфеля сходится к начальной доходности на горизонте, близком к удвоенной дюрации: τ = 2∙D — 1.

Покажем, что в случае непрерывного начисления процентов этот результат заменяется равенством τ = 2∙D.

Допустим, yₜ — линейная функция времени, т.е. yₜ = y₀ + k∙t.

Тогда интегрирование (5) даст следующее решение для HPR:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ HPRτ = y₀ + ½∙k∙(τ — 2∙D), ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (6)

где τ — время удержания позиции.

Выражение (6) можно переписать в виде:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ΔR = — Δy ∙(D/τ — ½ ) ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ (7)

где ΔR = [HPRτ — y₀], — отклонение HPR от начальной доходности, а Δy = yₜ — y₀ = k∙τ, — полное изменение доходности за время τ.

Величина Dᴛʟ = D/τ — ½ будет иметь смысл чувствительности (своего рода дюрации) реализованной доходности к изменению ставок на горизонте τ.

Легко заметить, что при τ = 2∙D эта чувствительность равна нулю, а HPR не зависит от величины наклона тренда k и равна доходности портфеля y₀ в момент приобретения.

На рисунке ниже изображена зависимость доходности к погашению, накопленной стоимости и HPR портфеля с таргетируемой дюрацией 3 года, изначально состоявшего из одной трехлетней бескупонной облигации. Начальная доходность y₀ = 15%, темпы изменения доходности Δy = -2%; 0; +2% в год.

Таким образом, при условии постоянства скорости изменения рыночных ставок реализованная доходность портфеля (HPR) будет совпадать с начальной доходностью на горизонте, равном удвоенной дюрации.

Для сравнения укажем результат инвестирования в удерживаемые до погашения трехлетние облигации. При тех же предположениях о динамике ставок и начальной доходности 15% годовых, HPR такого портфеля через 6 лет составит около 18% годовых в сценарии роста ставок и 12% — в случае их снижения.

Некоторые модели стохастических процентных ставок

В рамках линейной модели у инвестора могут быть разные сценарии динамики процентных ставок. Каждому из них можно приписать определенную вероятность и в результате получить распределение будущих доходностей на планируемом горизонте. Средневзвешенное значение всех прогнозных ставок можно рассматривать как ожидаемую доходность.

Пример совокупности линейных траекторий будущих процентных ставок при нормальном распределении прогнозов. Ожидаемая доходность равна текущей доходности к погашению.

Для отдельных линейных траекторий процентных ставок рассчитываются доходности за период владения HPRᴛʟ (индекс ᴛʟ обозначает trendline — линия тренда) Их точно так же можно усреднить с теми же весами, чтобы получить ожидаемое значение 𝔼[HPRᴛʟ]. Лейбовиц с соавторами предложили определять волатильность избыточной доходности σᴛʟ[ΔHPRᴛʟ] (где ΔHPRᴛʟ = HPRᴛʟ — y₀ ) через стандартное отклонение ставок |Δy|, применяя дискретный аналог формулы (7) на горизонте планирования. По мере того как горизонт приближается к “эффективному сроку погашения” (т.е. удвоенной дюрации минус один период), 𝔼[HPRᴛʟ] будет сходиться к начальной доходности портфеля y₀, независимо от вида распределения прогнозных ставок. Волатильность σᴛʟ[ΔHPRᴛʟ] при этом сокращается до нуля.

Конечно, предположение о том, что прогнозные ставки будут расти или падать линейно, не имеет под собой реальных оснований. Усложняя модель до случайного блуждания, авторы книги "Inside the Yield Book" установили несколько важных фактов:

• Для любой выборочной траектории ценовой эффект (связанный с изменением ставок через дюрацию, capital change) зависит только от начальной и конечной процентных ставок, а не от пути между этими значениями. Поэтому, он будет таким же как и у линии тренда. Напротив, начисляемые проценты (accruals) сильно зависят от траектории и могут значительно варьироваться.
• Имеет место своеобразный “принцип отражения”. Случайной траектории всегда можно сопоставить “зеркальный” образ, для которого каждое отклонение ставки относительно линии тренда имеет ту же величину, но противоположный знак. Начисляемые проценты (accruals) для случайной траектории и ее “отражения” компенсируют друг друга, так что среднее значение накопленных процентов для такой пары траекторий равно накопленным процентам по линии тренда. Поскольку ценовые эффекты (capital change) одинаковы для всех траекторий, ведущих к данной конечной доходности, среднее значение HPR для “зеркальной” пары (на планируемом горизонте) окажется равным HPRᴛʟ. Это утверждение верно для любой указанной пары траекторий, следовательно усредненное значение HPR по всем “не трендовым” траекториям (NTL — non-trendline paths), имеющих общие начальную и конечную точки, совпадает с HPRᴛʟ при условии, что каждая зеркальная траектория имеет симметричную вероятность возникновения: HPRᴛʟ = 𝔼[HPRɴᴛʟ]

Следует отметить, что в своих исследованиях Лейбовиц с соавторами не учитывали фактор выпуклости и сложное начисление процентов, и на самом деле равенство HPRᴛʟ = 𝔼[HPRɴᴛʟ] даже в случае симметричного распределения вероятностей выполняется приблизительно, хотя и с достаточно хорошей точностью.

• Общая волатильность σ[ΔHPR] (по всем возможным траекториям — как трендовым, так и не трендовым) может быть выражена через волатильность избыточной доходности σᴛʟ, которая обсуждалась выше, и так называемую “ошибку отслеживания” (tracking error), σᴛᴇ. Ошибка отслеживания связана исключительно с эффектом начисления (accruals): несмотря на то, что средняя HPR по всем траекториям, ведущим к данной конечной процентной ставке равна HPRᴛʟ, каждая отдельная траектория будет иметь уникальную HPR, основанную на накопленных процентах по ее конкретному пути изменения ставок.

Таким образом,

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ σ[ΔHPR]² = σᴛʟ² + σᴛᴇ²

Для коротких сроков удержания позиции общая волатильность σ[ΔHPR] может быть довольно большой, но она снижается до минимального уровня для горизонтов, приближающихся к удвоенной дюрации.

Авторы нашли явный вид зависимости σ[ΔHPR]² от количества периодов, величины дюрации и волатильности процентной ставки. Оно подтверждает существование минимума дисперсии HPR, когда динамика ставки носит характер случайного блуждания.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀───────────── • ─────────────

В данном разделе мы распространяем изложенный выше подход на случай непрерывного начисления процентов. Методы стохастического анализа позволяют в ряде случаев вывести аналитические выражения для среднего и дисперсии доходности за период владения.

Cлучайное блуждание без тренда, рассмотренное Лейбовицем с соавторами, аналогично модели, в которой динамика долгосрочной ставки yₜ определяется винеровским процессом Wₜ:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀dyₜ = σ∙dWₜ,

где σ — параметр волатильности, не зависящий как от времени, так и величины процентной ставки. Мы добавим в эту модель постоянный дрейф μ , чтобы сделать ее более общей:

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀dyₜ = μ∙dt + σ∙dWₜ

Разброс значений процентной ставки на горизонте t будет иметь нормальное распределение с ожиданием μ∙t и дисперсией σ²∙t : yₜ — y₀ ~ N(μt, σ²∙t), т.е. yₜ может принимать в том числе и отрицательные значения.

Будет нетрудно найти выражения для yₜ и HPRτ, а также рассчитать математическое ожидание 𝔼[HPRτ] и дисперсию var [HPRτ]:

Основные характеристики доходности за период владения для простого стохастического процесса долгосрочной процентной ставки.

Из анализа формул следует, что при указанных предположениях о динамике процентной ставки y:

1. Поведение 𝔼₀[HPRτ] полностью укладывается в рамки линейной модели. При любом значении параметра дрейфа μ > 0, ожидаемая HPR на горизонте 2∙D равна доходности портфеля в момент его приобретения, т.е. y₀.
2. Срок удержания портфеля, при котором достигается минимальное значение дисперсии HPR, не зависит от параметров процесса и равен √3∙D.
3. На коротких горизонтах преобладает связанный с дюрацией ценовой эффект, поэтому разброс значений HPR довольно велик. Со временем этот эффект нивелируется фактором начисления, что приводит к стабилизации волатильности HPR в широком диапазоне значений τ/D от 1.5 до 2.
4. С какого-то момента волатильность HPR становится меньше волатильности процентной ставки y. На очень длинных горизонтах отношение волатильностей HPR и процентной ставки стремится к 1/√3.

Пример численного расчета среднего значения HPR и его стандартного отклонения на основе 10000 симуляций процесса долгосрочной ставки

В заключение отметим, что полученное Лейбовицем и соавторами выражение для общей волатильности HPR согласуется с нашим результатом в предельном случае, когда период начисления процентов стремится к нулю.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Теперь рассмотрим стохастическую модель, в которой динамика процентной ставки является частным случаем процесса Орнштейна-Уленбека.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ dyₜ = θ∙( μ — yₜ ) ∙dt + σ∙dWₜ

Она предполагает, что ставки колеблются вокруг своего долгосрочного среднего значения μ (при этом они могут принимать отрицательные значения). Параметр θ отвечает за скорость возврата к среднему, а σ характеризует волатильность.

Такая динамика имеет простой экономический смысл. Высокие ставки тормозят экономику, делая кредиты дорогими, что в итоге приводит к снижению спроса и падению ставок. Низкие ставки, наоборот, стимулируют экономику, делая кредиты доступными, что увеличивает спрос и толкает ставки вверх. Таким образом, ставки имеют тенденцию “возвращаться к среднему”, стараясь не выходить за пределы определенного диапазона.

В рамках этой модели также удается получить аналитические выражения для среднего и дисперсии HPR:

К сожалению, в этом случае нельзя получить простые выражения для горизонта достижения минимальной дисперсии HPR и ожидаемого срока “восстановления” начальной доходности. Однако можно сделать несколько наблюдений:

1. Срок, на котором ожидаемая HPR равна начальной доходности портфеля, зависит от параметра скорости возвращения к среднему θ и таргетируемой дюрации D, но не от значения долгосрочного среднего μ. Этот срок меньше 2∙D, если θ > 0.
2. Чем выше скорость возврата к среднему θ, тем быстрее (в ожидаемых терминах) “восстанавливается” начальная доходность. В случае θ = 0 процесс описывается стохастической моделью без тренда.
3. Существование локального минимума дисперсии HPR зависит от соотношения D и θ. Если произведение θ∙D выше определенного порога, минимум отсутствует и волатильность HPR — равномерно убывающая функция.
4. При любых значениях параметров модели на длинном горизонте волатильность HPR снижается как σ²/(θ²∙τ), в пределе стремясь к нулю.

Анализ реальных данных

Мы исследовали характеристики HPR портфеля постоянной дюрации, включающего только бескупонные облигации. Закономерен вопрос: в какой степени полученные результаты применимы к более сложным по составу портфелям, которые обычно держат инвесторы? Расчеты американского экономиста Габриэля Лозада показывают, что выводы группы Лейбовица справедливы и в случае портфелей купонных облигаций номинальной стоимости [5]

В качестве примера сравним индекс RGBITR и накопленную стоимость модельного портфеля дисконтных облигаций сопоставимой дюрации. Напомним, что в RGBITR входят ликвидные ОФЗ-ПД различной срочности, т.е. он имеет структуру лестничного типа. Индекс пересматривается ежеквартально (фактически это ребалансировка).

Средняя дюрация RGBITR (4,8 ± 0,25 года за 10 летний период) близка к 5 годам. Поэтому, для анализа динамики модельного портфеля использовались опубликованные на сайте ЦБ данные по бескупонной доходности, соответствующие 5-летней точке на КБД Мосбиржи и пересчитанные в непрерывные (логарифмические) ставки процентов. HPR вычислялся на основе дискретного аналога формулы (5), и затем приводился к более привычному для инвесторов годовому (эффективному) начислению процентов. Начальная стоимость портфеля на 06.01.2014 равнялась значению индекса на эту дату: 325 ед.

Из рисунка видно, что накопленная стоимость модельного портфеля удовлетворительно отслеживает индекс на всем протяжении рассматриваемого периода (для наглядности мы исключили волатильные значения HPR на начальном участке).

Это подтверждает, что для приближенных оценок сложный портфель можно заменить моделью бескупонной облигации с той же стоимостью и дюрацией.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Относительный результат стратегии таргетирования дюрации зависит от выбранного момента инвестирования.

Допустим, портфель облигаций приобретается в начале 2014 г. Курс рубля стабилен, кривая доходности имеет положительный наклон со спредом около 2%, а ставки по длинным бумагам не превышают 8.5% годовых. В первой части галереи изображены графики накопленной стоимости и HPR портфеля для различных значений таргетируемой дюрации. Как следовало ожидать, чем ниже дюрация, тем менее волатилен HPR. Удивительно то, что портфель с почти нулевой дюрацией на сегодня показал бы лучший результат по сравнению с остальными. Они переигрывали его лишь на коротком отрезке 2-2.5 года. Казалось бы, какой тогда смысл находиться в длинных бумагах?

Но если выбрать другую точку входа, например, в январе 2015 г., когда ставки были высокими, ситуация резко поменяется (вторая часть галереи). Почти на всем протяжении времени удержания портфеля преимущество будет оставаться за длинной дюрацией.

Следовательно, увеличение дюрации портфеля в период высоких ставок обещает повышенную доходность (HPR) в среднесрочной перспективе. Вопрос, который сейчас волнует многих российских инвесторов: удастся ли финансовым властям страны победить инфляцию? Пока ЦБ РФ не приступил к смягчению ДКП, безопаснее всего держать средства в инструментах денежного рынка.

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Выше мы рассмотрели всего две точки входа — в начале 2014 и 2015 гг. В обоих случаях при коротком сроке удержания и высоких значениях дюрации наблюдались сильные отклонения HPR от процентной ставки, действовавшей на дату приобретения портфелей. На более длинных горизонтах эти отклонения постепенно стабилизировались.

Насколько типична такая картина? Чтобы это выяснить, потребуется оценить статистические характеристики HPR на основе исторических данных. Один из возможных способов оценки — использование принципа “скользящего окна” размером с величину горизонта.

К примеру, мы выбрали полугодовое окно. Вычислим HPR за период [01.01.2013 — 30.06.2013], затем для последующего интервала со сдвигом на один день — [02.01.2013 — 01.07.2013], и так далее. Из каждого значения HPR(i) вычтем соответствующую ему начальную доходность y₀(i). Полученный массив значений позволяет рассчитать выборочные среднее и дисперсию “избыточной” доходности [HPR(i) — y₀(i)]. Операции повторяются для всех исследуемых горизонтов.

На графике ниже построены усредненные значения “избыточной” доходности и ее стандартного отклонения в зависимости от времени удержания позиции. Расчет проводился для портфеля с постоянной трехлетней дюрацией на горизонте от полугода до шести лет.

Заметно, что разброс “избыточной” доходности портфеля, приобретенного в произвольный момент в период с 2013 по 2024 год, значительнее на коротких инвестиционных горизонтах и стабилизируется при сроках от одной до до двух дюраций.

Следует учесть, что 12 лет исторических данных — все же недостаточный срок для формирования статистически значимых выводов. Нельзя утверждать, что реализованный HPR в среднем всегда будет ниже, чем начальная YTM (т.е. средняя “избыточная” доходность — отрицательна), как это видно на графике. Это может быть особенностью выбранного интервала наблюдений. Например, данные за 50 лет по казначейским бумагам США показывают, что средняя “избыточная” доходность портфеля облигаций с постоянной дюрацией 5 лет составляла около +1% на горизонте удержания от 5 до 10 лет [2]

Сам факт постепенной сходимости HPR к начальной YTM означает, что инвестор в каком-то смысле попадает в “статистическую ловушку доходности”. Если он таргетирует длинную дюрацию в период роста ставок, то не может извлечь выгоду из такой стратегии, поскольку не в состоянии “улучшить” долгосрочную HPR. Для того, чтобы избежать ловушки доходности, инвестору нужно управлять дюрацией портфеля, сокращая ее, если начинается цикл повышения ставок, и увеличивая в обратном случае.

Прогноз доходности на основе модели Халла-Уайта

При моделировании динамики процентных ставок мы исходили из предположения, что возможны только параллельные сдвиги плоской кривой доходности. На практике кривая отклоняется от плоской формы, и между изменениями ставок разной срочности нет идеальной корреляции. Поэтому, для описания поведения долгосрочных ставок необходим другой подход.

Основываясь на предпосылках локальной теории ожиданий можно показать, что при отсутствии арбитража цена бескупонной облигации с единичным номиналом выражается через условное математическое ожидание дисконтированного процесса короткой ставки (short rate) относительно риск-нейтральной меры Q. Поскольку эта цена связана с долгосрочной ставкой yₜ,ᴛ соотношением Pₜ,ᴛ = exp[ — yₜ,ᴛ∙(T — t)], задание стохастического процесса короткой ставки одновременно моделирует всю будущую временную структуру процентных ставок.

Напомним, что безрисковая короткая ставка rₜ — это ставка, применимая к бесконечно малому промежутку времени dt в момент времени t. Она отличается от краткосрочной форвардной ставки fₜ,ᴛ тем, что fₜ,ᴛ определяется в момент t, но применяется для бесконечно малого периода dt в будущий (по отношению к t) момент времени T. Короткую ставку можно рассматривать как предельное значение форвардной ставки при t → T: rₜ = fₜ,ₜ

Значение короткой ставки известно только на текущую дату, ее будущая траектория — реализация случайного процесса. На российском денежном рынке приблизительным аналогом короткой ставки служит однодневная ставка RUONIA.

Одним из широко используемых подходов к моделированию динамики ставок является однофакторная модель Халла-Уайта. Она предполагает, что короткая ставка rₜ отклоняется от детерминированного уровня под воздействием случайных факторов, но со временем стремится вернуться к своей “средней траектории” (заданной начальной форвардной кривой и параметрами модели). Благодаря аддитивной форме дрейфа и волатильности, модель Халла-Уайта имеет аналитическое решение для цен облигаций (и долгосрочных ставок, соответственно), что делает её удобной для практического использования.

Динамика короткой ставки описывается стохастическим уравнением, представляющим собой процесс Орнштейна-Уленбека. Зависящая от времени функция θₜ выбирается таким образом, чтобы цены облигаций, рассчитанные в модели, совпадали с наблюдаемыми на рынке. Ее можно найти в явном виде, так же как получить выражения для среднего и дисперсии короткой ставки (первая часть галереи):

В настоящем исследовании для оценки параметра θₜ использовались данные КБД Мосбиржи по состоянию на 27.11.2024. Методика расчета бескупонных доходностей на основе параметрической модели Нельсона-Сигеля представлена на сайте Мосбиржи. Гладкость функции G(t) позволяет строить непрерывные спотовую и форвардную кривые (вторая часть галереи, для наглядности использовано годовое начисление процентов), а также вычислить производную ∂f₀,ₜ / ∂t.

Параметры a и σ оценивались методом максимального правдоподобия по историческим данным ставки RUONIA, взятым с сайта ЦБ РФ за период 2013-2024 гг. Рисунок в третьей части галереи описывает поведение ожидаемого значения короткой ставки (𝔼 [rₜ]) в зависимости от времени. На длинном горизонте 𝔼 [rₜ] стремится к предельному значению f₀,ₜ + ½∙(σ/ a)², а волатильность стабилизируется вблизи величины σ/√(2a).

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ ───────────── • ─────────────

Как упоминалось выше, в модели Халла-Уайта удается найти аналитическое решение для цен (и, соответственно, доходностей) бескупонных облигаций. Мы применили результаты Дж. Халла к портфелям постоянной дюрации. Для этого достаточно произвести замену T — t = D = const, избавившись от срока погашения T. После небольших алгебраических преобразований легко получить следующие выражения для долгосрочной ставки, ее математического ожидания и дисперсии (первая часть галереи):

Можно заметить, что короткая и долгосрочная ставки имеют схожую динамику (вторая часть галереи). Это объясняется тем, что цена облигации в модели Халла-Уайта может быть выражена в форме Pₜ,ᴛ =Aₜ,ᴛ∙exp[ — rₜ∙Bₜ,ᴛ], где Aₜ,ᴛ и Bₜ,ᴛ — некоторые функции, заданные в явном виде. А значит, долгосрочная ставка yₜ,ᴛ = — ln Pₜ,ᴛ/(T — t) = [rₜ∙Bₜ,ᴛ — ln Aₜ,ᴛ ]/(T — t) представляет собой линейную функцию относительно rₜ (особенно наглядно это проявляется в случае T — t = const).

Модель демонстрирует еще одно важное свойство: волатильность долгосрочной ставки снижается с увеличением параметра D = T — t (третья часть галереи) Так происходит, потому что долгосрочные ставки, в каком-то смысле, усредняют изменения коротких ставок за период T — t ; и чем больше этот период, тем сильнее эффект усреднения. В формуле

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ yₜ,ᴛ = — ln Pₜ,ᴛ/(T — t) = [rₜ∙Bₜ,ᴛ — ln Aₜ,ᴛ ]/(T — t)

за это отвечает функция Bₜ,ᴛ Она последовательно уменьшается с ростом T — t = D, снижая влияние rₜ на долгосрочную ставку.

Мы можем использовать полученное выражение для долгосрочной ставки при расчете HPR портфеля постоянной дюрации, используя подход, изложенный в начале статьи. Важным отличием от ранее рассмотренных моделей с трендом и возвратом к среднему является то, что динамика yₜ,ᴛ = yₜ, ₜ₊ᴅ теперь зависит от выбранного значения дюрации D. Кроме того, в качестве начисленных за бесконечно малый промежуток времени процентов необходимо использовать вместо доходности к погашению мгновенную форвардную ставку, т.е. использовать rolling yield (fₜ∙dt)

______________________________

[1] Langeteig, Terence C., Martin L. Leibowitz and Stanley Kogelman (1990), “Duration Targeting and the Management of Multiperiod Returns,” Financial Analysts Journal 46/5: 35–45.

[2] Leibowitz, Martin L., Anthony Bova, Stanley Kogelman, and Sidney Homer (2013), Inside the Yield Book: The Classic That Created the Science of Bond Analysis (3rd Edition). Somerset, New Jersey: John Wiley & Sons.

[3] Leibowitz, Martin L., Anthony Bova, and Stanley Kogelman (2014), “Long-Term Bond Returns under Duration Targeting,” Financial Analysts Journal 70/1: 31–51.

[4] Leibowitz, M. L., Bova, A., & Kogelman, S. (2015). Bond Ladders and Rolling Yield Convergence. Financial Analysts Journal, 71(2), 32–46.

[5] Gabriel A. Lozada Constant-Duration Bond Portfolios’ Initial (Rolling) Yield Forecasts Return Best at Twice Duration (2016)