Функцией в математике называют взаимнооднозначное соответствие между двумя(или более) множествами. Говоря простым языком, функция - это такой закон, при котором элементы одного множества переходят в элементы другого множества. В школе эти множества называли X и Y, а саму функцию записывали так: y=f(x), где x, y - элементы(в данном случае числа) множества X, Y соответственно.
Стоит отметить, что одному значению y, может соответствовать несколько значений x, но наоборот - нет!
Для примера вспомните функцию y=x^2 значению 1 по y соответствуют два значения по x(±1)
Парабола, нарисованная вдоль оси Ox будет выглядеть также, но она не будет являться функцией в классическом понимании(функция заданная неявным образом).см. рис.1.
Чтобы функция называлась функцией(простите за тавтологию), необходима запись с "чистым" y: y=f(x).
Давайте рассмотрим более сложный, но наглядный пример:
Трехмерное яблоко дает двумерную тень см. рис.2
Яблоко имеет много точек, которые дают 1 точку на тени.
Несложно в этом убедиться. Представим луч света, который светит на яблоко и не может пройти сквозь него.
Если откусить яблоко в месте, где свет не попадает на яблоко,
и поставить его обратно, мы получим точно такую же тень!
То есть, существует огромное количество надкусанных яблок, тень которых будет совпадать с тенью не надкусанного яблока.
И что это означает?
Это означает, что если мы захотим узнать форму предмета, который дает тень, по его тени у нас это не получится!(Вспомните функции y^2=x и y=√x).
Последовательность тоже является частным случаем функции, только вместо X - действительного числа, мы брали множество натуральных чисел N.
При переходе от точек множества N к точкам множества R - действительных чисел, возникают некоторых трудности.
Рассмотрим функцию y=f(x) = x и an=n, и их графики см. рис 3
Вроде совпадают, но вопрос насколько? В случае с последовательностью an: на отрезке [0,5] мы получаем всего 6 точек и 6 значений.
Но у функции f(x) на этом отрезке бесконечно много точек, т.к. x- действительные!!! (Помните счетные и нечётные множества?).
Сколько бы не приближали наш отрезок 0X, все равно найдутся точки, лежащие на данном отрезке.
#математика, #функция, #образование, #ЕГЭ