Давайте разберем, как решать системы линейных уравнений, используя несколько методов. Мы рассмотрим два основных метода: метод подстановки и метод сложения (или исключения). Начнем с простого примера.
Пример системы линейных уравнений:
2𝑥+𝑦=5
и
𝑥−𝑦=1
Метод подстановки
1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений.
Возьмем второе уравнение:
𝑥−𝑦=1
Выразим 𝑥 через 𝑦:
𝑥=𝑦+1
2. Подставим выражение для 𝑥 в первое уравнение.
Теперь подставим 𝑥=𝑦+1 в первое уравнение:
2(𝑦+1)+𝑦=5
3. Решим полученное уравнение.
Раскроем скобки и приведем подобные:
2𝑦+2+𝑦=5
3𝑦+2=5
3𝑦=3
𝑦=1
4. Найдем значение второй переменной.
Подставим 𝑦=1 в выражение для 𝑥:
𝑥=𝑦+1=1+1=2
5. Запишем ответ.
Решение системы:
𝑥=2; 𝑦=1
Метод сложения (или исключения)
1. Приведем уравнения к удобному виду.
У нас уже есть:
2𝑥+𝑦=5
и
𝑥−𝑦=1
2. Сложим уравнения так, чтобы исключить одну из переменных.
Сложим оба уравнения:
(2𝑥+𝑦)+(𝑥−𝑦)=5+1
2𝑥+𝑦+𝑥−𝑦=6
3𝑥=6
𝑥=2
3. Найдем значение второй переменной.
Подставим 𝑥=2 в одно из исходных уравнений, например, во второе:
2−𝑦=1
−𝑦=−1
𝑦=1
4. Запишем ответ.
Решение системы:
𝑥=2; 𝑦=1
Проверка решения
Чтобы убедиться, что решение верное, подставим найденные значения 𝑥 и 𝑦 в оба исходных уравнения:
1. Первое уравнение:
2𝑥+𝑦=5⇒2(2)+1=5⇒4+1=5⇒5=5
2. Второе уравнение:
𝑥−𝑦=1⇒2−1=1⇒1=1
Оба равенства выполняются, значит, решение верное.
Мы рассмотрели два метода решения систем линейных уравнений: метод подстановки и метод сложения. Оба метода привели нас к одному и тому же решению. Важно понимать оба метода, так как в разных задачах один из них может оказаться более удобным.