Как решать системы линейных уравнений (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как решать системы линейных уравнений, используя несколько методов. Мы рассмотрим два основных метода: метод подстановки и метод сложения (или исключения). Начнем с простого примера.

Пример системы линейных уравнений:

2𝑥+𝑦=5

и

𝑥−𝑦=1

Метод подстановки

1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений.

Возьмем второе уравнение:

𝑥−𝑦=1

Выразим 𝑥 через 𝑦:

𝑥=𝑦+1

2. Подставим выражение для 𝑥 в первое уравнение.

Теперь подставим 𝑥=𝑦+1 в первое уравнение:

2(𝑦+1)+𝑦=5

3. Решим полученное уравнение.

Раскроем скобки и приведем подобные:

2𝑦+2+𝑦=5

3𝑦+2=5

3𝑦=3

𝑦=1

4. Найдем значение второй переменной.

Подставим 𝑦=1 в выражение для 𝑥:

𝑥=𝑦+1=1+1=2

5. Запишем ответ.

Решение системы:

𝑥=2; 𝑦=1

Метод сложения (или исключения)

1. Приведем уравнения к удобному виду.

У нас уже есть:

2𝑥+𝑦=5

и

𝑥−𝑦=1

2. Сложим уравнения так, чтобы исключить одну из переменных.

Сложим оба уравнения:

(2𝑥+𝑦)+(𝑥−𝑦)=5+1

2𝑥+𝑦+𝑥−𝑦=6

3𝑥=6

𝑥=2

3. Найдем значение второй переменной.

Подставим 𝑥=2 в одно из исходных уравнений, например, во второе:

2−𝑦=1

−𝑦=−1

𝑦=1

4. Запишем ответ.

Решение системы:

𝑥=2; 𝑦=1

Проверка решения

Чтобы убедиться, что решение верное, подставим найденные значения 𝑥 и 𝑦 в оба исходных уравнения:

1. Первое уравнение:

2𝑥+𝑦=5⇒2(2)+1=5⇒4+1=5⇒5=5

2. Второе уравнение:

𝑥−𝑦=1⇒2−1=1⇒1=1

Оба равенства выполняются, значит, решение верное.

Мы рассмотрели два метода решения систем линейных уравнений: метод подстановки и метод сложения. Оба метода привели нас к одному и тому же решению. Важно понимать оба метода, так как в разных задачах один из них может оказаться более удобным.