Как решать задачи на нахождение корней многочленов (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как решать задачи на нахождение корней многочленов, используя примеры. Мы будем двигаться шаг за шагом, чтобы все было понятно.

Пример задачи:

Найдите корни многочлена 𝑃(𝑥)=𝑥^2−5𝑥+6.

1. Определение типа многочлена

В данном случае у нас квадратный многочлен 𝑃(𝑥)=𝑥^2−5𝑥+6. Квадратный многочлен имеет вид 𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — коэффициенты.

2. Формула корней квадратного уравнения

Для нахождения корней квадратного уравнения 𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0 используется формула:

𝑥=(−𝑏±√(𝑏^2−4𝑎𝑐))/(2𝑎)

3. Подставляем коэффициенты в формулу

В нашем случае 𝑎=1, 𝑏=−5, 𝑐=6. Подставляем эти значения в формулу:

𝑥=(−(−5)±√((−5)^2−4⋅1⋅6))/(2⋅1)

4. Вычисляем дискриминант

Дискриминант 𝐷 — это выражение под корнем:

𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐

Подставляем значения:

𝐷=(−5)^2−4⋅1⋅6=25−24=1

5. Вычисляем корни

Теперь подставляем дискриминант 𝐷

 в формулу корней:

𝑥=(5±1)/2

6. Находим два значения 𝑥

Рассмотрим два случая:

1. 𝑥1=(5+1)/2=6/2=3

2. 𝑥2=(5−1)/2=4/2=2

7. Записываем ответ

Корни многочлена 𝑃(𝑥)=𝑥^2−5𝑥+6 — это 𝑥=3

 и 𝑥=2.

Дополнительный пример:

Рассмотрим многочлен 𝑃(𝑥)=𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6.

1. Определение типа многочлена

Это кубический многочлен, и для нахождения его корней можно использовать метод разложения на множители или теорему Виета.

2: Применение теоремы Виета

Для кубического многочлена 𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6 сумма корней равна коэффициенту при 𝑥^2 с противоположным знаком, то есть 6

, а произведение корней равно свободному члену, то есть −6.

3. Подбор корней

Попробуем подобрать корни. Подставим 𝑥=1:

1^3−6⋅1^2+11⋅1−6=1−6+11−6=0

Значит, 𝑥=1 — корень.

4. Деление многочлена

Разделим многочлен на 𝑥−1

 с помощью схемы Горнера или деления столбиком:

𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6=(𝑥−1)(𝑥^2−5𝑥+6)

5. Решение квадратного уравнения

Теперь решим 𝑥^2−5𝑥+6=0

 (мы уже решали это уравнение выше):

Корни: 𝑥=2 и 𝑥=3.

6. Записываем все корни

Корни многочлена 𝑃(𝑥)=𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6 — это 𝑥=1, 𝑥=2 и 𝑥=3.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать задачи на нахождение корней многочленов. Если у вас есть еще вопросы или нужны дополнительные примеры, не стесняйтесь спрашивать!