Давайте разберем, как решать задачи на нахождение корней многочленов, используя примеры. Мы будем двигаться шаг за шагом, чтобы все было понятно.
Пример задачи:
Найдите корни многочлена 𝑃(𝑥)=𝑥^2−5𝑥+6.
1. Определение типа многочлена
В данном случае у нас квадратный многочлен 𝑃(𝑥)=𝑥^2−5𝑥+6. Квадратный многочлен имеет вид 𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — коэффициенты.
2. Формула корней квадратного уравнения
Для нахождения корней квадратного уравнения 𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0 используется формула:
𝑥=(−𝑏±√(𝑏^2−4𝑎𝑐))/(2𝑎)
3. Подставляем коэффициенты в формулу
В нашем случае 𝑎=1, 𝑏=−5, 𝑐=6. Подставляем эти значения в формулу:
𝑥=(−(−5)±√((−5)^2−4⋅1⋅6))/(2⋅1)
4. Вычисляем дискриминант
Дискриминант 𝐷 — это выражение под корнем:
𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐
Подставляем значения:
𝐷=(−5)^2−4⋅1⋅6=25−24=1
5. Вычисляем корни
Теперь подставляем дискриминант 𝐷
в формулу корней:
𝑥=(5±1)/2
6. Находим два значения 𝑥
Рассмотрим два случая:
1. 𝑥1=(5+1)/2=6/2=3
2. 𝑥2=(5−1)/2=4/2=2
7. Записываем ответ
Корни многочлена 𝑃(𝑥)=𝑥^2−5𝑥+6 — это 𝑥=3
и 𝑥=2.
Дополнительный пример:
Рассмотрим многочлен 𝑃(𝑥)=𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6.
1. Определение типа многочлена
Это кубический многочлен, и для нахождения его корней можно использовать метод разложения на множители или теорему Виета.
2: Применение теоремы Виета
Для кубического многочлена 𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6 сумма корней равна коэффициенту при 𝑥^2 с противоположным знаком, то есть 6
, а произведение корней равно свободному члену, то есть −6.
3. Подбор корней
Попробуем подобрать корни. Подставим 𝑥=1:
1^3−6⋅1^2+11⋅1−6=1−6+11−6=0
Значит, 𝑥=1 — корень.
4. Деление многочлена
Разделим многочлен на 𝑥−1
с помощью схемы Горнера или деления столбиком:
𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6=(𝑥−1)(𝑥^2−5𝑥+6)
5. Решение квадратного уравнения
Теперь решим 𝑥^2−5𝑥+6=0
(мы уже решали это уравнение выше):
Корни: 𝑥=2 и 𝑥=3.
6. Записываем все корни
Корни многочлена 𝑃(𝑥)=𝑥^3−6𝑥^2+11𝑥−6 — это 𝑥=1, 𝑥=2 и 𝑥=3.
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать задачи на нахождение корней многочленов. Если у вас есть еще вопросы или нужны дополнительные примеры, не стесняйтесь спрашивать!