Что такое дискриминант, и как его использовать для решения квадратных уравнений (задачи из ОГЭ)?

Давай разберем, что такое дискриминант и как его использовать для решения квадратных уравнений. Начнем с основ.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение имеет вид:

𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0

где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — это коэффициенты, а 𝑥 — переменная.

Что такое дискриминант?

Дискриминант — это специальное выражение, которое помогает определить количество и тип корней квадратного уравнения. Обозначается буквой 𝐷 и вычисляется по формуле:

𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐

Как использовать дискриминант?

Дискриминант помогает понять, сколько корней имеет квадратное уравнение и какие они:

1. Если 𝐷>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Если 𝐷=0, уравнение имеет один (двукратный) действительный корень.

3. Если 𝐷<0, уравнение не имеет действительных корней (корни будут комплексными.

Примеры решения квадратных уравнений с использованием дискриминанта

Пример 1. 𝐷>0

Рассмотрим уравнение:

2𝑥^2−4𝑥−6=0

1. Вычислим дискриминант:

𝑎=2, 𝑏=−4, 𝑐=−6

𝐷=(−4)^2−4⋅2⋅(−6)

𝐷=16+48

𝐷=64

2. Так как 𝐷>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

3. Найдем корни по формуле:

𝑥1, 𝑥2=(−𝑏±√𝐷)/(2𝑎)

𝑥1, 𝑥2=(4±√64)/4

𝑥1, 𝑥2=(4±8)/4

4. Корни:

𝑥1=(4+8)/4=3

𝑥2=(4−8)/4=−1

Пример 2: 𝐷=0

Рассмотрим уравнение:

𝑥^2−6𝑥+9=0

1. Вычислим дискриминант:

𝑎=1, 𝑏=−6, 𝑐=9

𝐷=(−6)^2−4⋅1⋅9

𝐷=36−36

𝐷=0

2. Так как 𝐷=0, уравнение имеет один (двукратный) действительный корень.

3. Найдем корень по формуле:

𝑥=−𝑏/(2𝑎)

𝑥=6/2

𝑥=3

Пример 3: 𝐷<0

Рассмотрим уравнение:

𝑥^2+4𝑥+5=0

1. Вычислим дискриминант:

𝑎=1, 𝑏=4, 𝑐=5

𝐷=4^2−4⋅1⋅5

𝐷=16−20

𝐷=−4

2. Так как 𝐷<0, уравнение не имеет действительных корней.

Дискриминант — это мощный инструмент для анализа квадратных уравнений. Он позволяет быстро определить количество и тип корней уравнения. Важно помнить формулу дискриминанта и уметь применять её на практике.