Что такое квадратное уравнение и как его решать (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, что такое квадратное уравнение и как его решать, на примерах, которые могут встретиться в ОГЭ.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0

где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — это коэффициенты, причем 𝑎≠0 (иначе уравнение перестанет быть квадратным).

Пример квадратного уравнения

Рассмотрим уравнение:

2𝑥^2−4𝑥+2=0

Здесь 𝑎=2, 𝑏=−4, 𝑐=2.

Шаги решения квадратного уравнения

1. Вычисление дискриминанта

Дискриминант (обозначается как 𝐷) — это выражение, которое помогает определить количество и тип корней квадратного уравнения. Формула для дискриминанта:

𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐

Для нашего примера:

𝐷=(−4)^2−4⋅2⋅2=16−16=0

2. Анализ дискриминанта

- Если 𝐷>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

- Если 𝐷=0, уравнение имеет один действительный корень (два совпадающих корня).

- Если 𝐷<0, уравнение не имеет действительных корней (корни комплексные).

В нашем примере 𝐷=0, значит, уравнение имеет один действительный корень.

3. Нахождение корней

Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

𝑥1,𝑥2=(−𝑏±√𝐷)/(2𝑎)

Так как 𝐷=0, формула упрощается до:

𝑥=−𝑏/(2𝑎)

Для нашего примера:

𝑥=−(−4)/(2⋅2)=4/4=1

Таким образом, уравнение 2𝑥^2−4𝑥+2=0

 имеет один корень 𝑥=1.

Пример с двумя корнями

Рассмотрим уравнение:

𝑥^2−3𝑥+2=0

Здесь 𝑎=1, 𝑏=−3, 𝑐=2.

1. Вычислим дискриминант:

𝐷=(−3)^2−4⋅1⋅2=9−8=1

2. Так как 𝐷>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

3. Найдем корни:

𝑥1,𝑥2=(−(−3)±√1)/(2⋅1)=(3±1)/2

𝑥1=(3+1)/2=2

𝑥2=(3−1)/2=1

Таким образом, уравнение 𝑥^2−3𝑥+2=0

 имеет два корня: 𝑥1=2 и 𝑥2=1.

Пример без действительных корней

Рассмотрим уравнение:

𝑥^2+𝑥+1=0

Здесь 𝑎=1, 𝑏=1, 𝑐=1.

1. Вычислим дискриминант:

𝐷=12−4⋅1⋅1=1−4=−3

2. Так как 𝐷<0, уравнение не имеет действительных корней.

Мы рассмотрели три случая квадратных уравнений: с одним корнем, с двумя корнями и без действительных корней. Важно помнить, что дискриминант помогает определить количество и тип корней, а формулы для нахождения корней зависят от значения дискриминанта.