Чему равна сумма 1+2+3+4+5+...?
Очевидно же, что сумма стремится в бесконечность.
Действительно, по всем признакам, нам известным, данный ряд расходится.
Давайте посчитаем частичную сумму до какого-нибудь n.
Есть сумма вида 1+2+3+4+5+...+n
Пусть n - чётное, тогда давайте сложим последний член (n) с первым (1), предпоследний (n-1) со вторым (2) и так далее; всегда будет сумма – n+1. А сколько таких пар мы получим? Ну очевидно, что n/2. Если умножить число пар на их сумму мы получим частную сумму от 1 до n, т.е. 1+2+3+4+...+n = (n+1)*n/2.
Но эта сумма доказана только для четного n.
Пусть k – нечётное. Тогда k+1– чётное. Мы знаем сумму до k+1.
Подставим в формулу, приведенную выше: 1+2+3+..+k+(k+1)=(k+1+1)*(k+1)/2.
Чтобы найти сумму 1+2+3+...+k – вычтем (k+1) из только полученного уравнения:
[(k+2)*(k+1)/2] - (k+1)= (k+1)*((k+2)/2-1)=(k+1)*k/2
Следовательно, для любого натурального числа: сумма 1 до n члена будет равна:
1+2+3+4+...+n=(n+1)*n/2
Для примера посчитаем чему равна сумма до числа 100:
1+2+3+4+...+100=100*101/2=5050
Из этой формулы видно, что сумма всегда будет увеличиваться и при n>>∞ , Σ>>∞
А что, если я скажу, что данная сумма равна -(1/12)?
(🤔🤔🤔 Автор переизучал математику, и ему пора в дурку ?🤔🤔🤔
Не беспокойтесь через минут 5 мы отправимся туда вместе🤗)
Не укладывается в голове – "Как бесконечная сумма положительных натуральных чисел может быть: во-первых, отрицательной, и во-вторых, дробной?"
Но если бы здесь не было никакого смысла, то этого поста бы и не было.
Давайте вспомним ряд:
1-2+3-4+5-6+...=1/4
(Более подробно читайте в моем тг канале: https://t.me/ProMathHack)
Чем-то он похож на нашего подопытного.
Пусть ряд 1+2+3+...=A
Тогда 4*A =4+8+12+...
Вычтем: A - 4*A таким образом, что первый член 4*A будет вычитаться из второго члена A, а второй член 4*A будет вычитаться из 4 члена A и т.д. ;
Т.е. 1+(2-4)+3+(4-8)+5+(6-12)+...
Мы получили наш ряд: 1-2+3-4+5-6+... Который равен 1/4, а A-4A=-3A
То есть -3A = 1/4;
A=-1/12 🤔
Но знайте: работая с бесконечностью, мы можем найти абсолютно любую сумму, имея ловкие руки 😂
Было бы смешно, если бы не было бы так страшно, ведь есть другие способы(более серьезные), которые доказывают это равенство!
Например, регуляризация дзета функции Римана, или суммирование по методу Рамануджана (может быть мы поговорим о них когда-нибудь {но это не точно}), дают нам ответ для данного ряда –1/12
Но чтобы вас не пугать, не буду показывать эти вычисления 😂(кому интересно можете поискать в интернете).
Данные методы, а в частности данная сумма нашла применение в теоретической квантовой физике и теории струн. Так что вся эта "чушь", которую я написал выше, не такая уж и бессмысленная 😉