Как решать задачи на нахождение корней квадратных уравнений (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как решать задачи на нахождение корней квадратных уравнений, используя примеры. Мы будем следовать пошагово, чтобы все было понятно.

Понимание квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид:

𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0

где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — это коэффициенты, и 𝑎≠0.

Формула для нахождения корней

Для нахождения корней квадратного уравнения используется формула:

𝑥=(−𝑏±√(𝑏^2−4𝑎𝑐))/(2𝑎)

Дискриминант

Перед тем как использовать формулу, нужно найти дискриминант 𝐷:

𝐷=𝑏^2−4𝑎𝑐

Анализ дискриминанта

- Если 𝐷>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

- Если 𝐷=0, уравнение имеет один действительный корень.

- Если 𝐷<0, уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Решение уравнения с двумя корнями

Рассмотрим уравнение:

2𝑥^2−4𝑥−6=0

1. Определяем коэффициенты: 𝑎=2, 𝑏=−4, 𝑐=−6.

2. Находим дискриминант:

𝐷=(−4)^2−4⋅2⋅(−6)=16+48=64

3. Так как 𝐷>0, уравнение имеет два корня.

4. Находим корни по формуле:

𝑥1=(−(−4)+√64)/(2⋅2)=(4+8)/4=3

𝑥2=(−(−4)−√64)/(2⋅2)=(4−8)/4=−1

Ответ: 𝑥1=3, 𝑥2=−1.

Пример 2. Решение уравнения с одним корнем

Рассмотрим уравнение:

𝑥^2−6𝑥+9=0

1. Определяем коэффициенты: 𝑎=1, 𝑏=−6, 𝑐=9.

2. Находим дискриминант:

𝐷=(−6)^2−4⋅1⋅9=36−36=0

3. Так как 𝐷=0, уравнение имеет один корень.

4. Находим корень по формуле:

𝑥=−(−6)/(2⋅1)=6/2=3

Ответ: 𝑥=3.

Пример 3. Решение уравнения без действительных корней

Рассмотрим уравнение:

𝑥^2+4𝑥+5=0

1. Определяем коэффициенты: 𝑎=1, 𝑏=4, 𝑐=5.

2. Находим дискриминант:

𝐷=4^2−4⋅1⋅5=16−20=−4

3. Так как 𝐷<0, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

Таким образом, для решения квадратных уравнений нужно:

1. Определить коэффициенты 𝑎, 𝑏, 𝑐.

2. Найти дискриминант 𝐷.

3. Проанализировать дискриминант и использовать формулу для нахождения корней.

Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять, как решать задачи на нахождение корней квадратных уравнений!