Давайте разберем, как умножать и делить одночлены и многочлены, шаг за шагом.
Умножение одночленов
Одночлены — это выражения вида 𝑎𝑥^𝑛, где 𝑎 — коэффициент, 𝑥 — переменная, а 𝑛 — натуральное число.
Пример 1. Умножение одночленов
Умножим одночлены 3𝑥^2 и 4𝑥^3.
1. Коэффициенты. Умножаем числовые коэффициенты: 3×4=12.
2. Переменные. Складываем степени переменных: 𝑥^2 × 𝑥^3 = 𝑥^(2 +3) = 𝑥^5.
Итак, результат: 3𝑥^2 × 4𝑥^3 = 12𝑥^5.
Деление одночленов
Пример 2. Деление одночленов
Разделим одночлен 12𝑥^5 на одночлен 4𝑥^2.
1. Коэффициенты. Делим числовые коэффициенты:
12/4=3.
2. Переменные. Вычитаем степени переменных: 𝑥^5 ÷ 𝑥^2 = 𝑥^(5−2) = 𝑥^3.
Итак, результат:
(12𝑥^5)/(4𝑥^2) = 3𝑥^3.
Умножение многочленов
Многочлены — это суммы одночленов, например, (2𝑥+3) и (𝑥−4).
Пример 3. Умножение многочленов
Умножим многочлены (2𝑥+3) и (𝑥−4).
1. Раскрываем скобки. Используем распределительное свойство (дистрибутивность):
(2𝑥+3)(𝑥−4)=2𝑥⋅𝑥+2𝑥⋅(−4)+3⋅𝑥+3⋅(−4)
2. Выполняем умножение:
=2𝑥^2−8𝑥+3𝑥−12
3. Приводим подобные члены:
=2𝑥^2−5𝑥−12
Итак, результат: (2𝑥+3)(𝑥−4)=2𝑥^2−5𝑥−12.
Деление многочленов
Пример 4. Деление многочлена на одночлен
Разделим многочлен 6𝑥^3−9𝑥^2+3𝑥 на одночлен 3𝑥.
1. Разделим каждый член многочлена на одночлен:
(6𝑥^3)/(3𝑥)−(9𝑥^2)/(3𝑥)+(3𝑥)/(3𝑥)
2. Выполняем деление:
=2𝑥^2−3𝑥+1
Итак, результат:
(6𝑥^3−9𝑥^2+3𝑥)/(3𝑥)=2𝑥^2−3𝑥+1.
1. Умножение одночленов. Умножаем коэффициенты и складываем степени переменных.
2. Деление одночленов. Делим коэффициенты и вычитаем степени переменных.
3. Умножение многочленов. Используем распределительное свойство и собираем подобные члены.
4. Деление многочлена на одночлен. Делим каждый член многочлена на одночлен.
Эти правила помогут вам решать задачи из ОГЭ по алгебре.