Как умножать и делить одночлены и многочлены?

Давайте разберем, как умножать и делить одночлены и многочлены, шаг за шагом.

Умножение одночленов

Одночлены — это выражения вида 𝑎𝑥^𝑛, где 𝑎 — коэффициент, 𝑥 — переменная, а 𝑛 — натуральное число.

Пример 1. Умножение одночленов

Умножим одночлены 3𝑥^2 и 4𝑥^3.

1. Коэффициенты. Умножаем числовые коэффициенты: 3×4=12.

2. Переменные. Складываем степени переменных: 𝑥^2 × 𝑥^3 = 𝑥^(2 +3) = 𝑥^5.

Итак, результат: 3𝑥^2 × 4𝑥^3 = 12𝑥^5.

Деление одночленов

Пример 2. Деление одночленов

Разделим одночлен 12𝑥^5 на одночлен 4𝑥^2.

1. Коэффициенты. Делим числовые коэффициенты: 

12/4=3.

2. Переменные. Вычитаем степени переменных: 𝑥^5 ÷ 𝑥^2 = 𝑥^(5−2) = 𝑥^3.

Итак, результат: 

(12𝑥^5)/(4𝑥^2) = 3𝑥^3.

Умножение многочленов

Многочлены — это суммы одночленов, например, (2𝑥+3) и (𝑥−4).

Пример 3. Умножение многочленов

Умножим многочлены (2𝑥+3) и (𝑥−4).

1. Раскрываем скобки. Используем распределительное свойство (дистрибутивность):

(2𝑥+3)(𝑥−4)=2𝑥⋅𝑥+2𝑥⋅(−4)+3⋅𝑥+3⋅(−4)

2. Выполняем умножение:

=2𝑥^2−8𝑥+3𝑥−12

3. Приводим подобные члены:

=2𝑥^2−5𝑥−12

Итак, результат: (2𝑥+3)(𝑥−4)=2𝑥^2−5𝑥−12.

Деление многочленов

Пример 4. Деление многочлена на одночлен

Разделим многочлен 6𝑥^3−9𝑥^2+3𝑥 на одночлен 3𝑥.

1. Разделим каждый член многочлена на одночлен:

(6𝑥^3)/(3𝑥)−(9𝑥^2)/(3𝑥)+(3𝑥)/(3𝑥)

2. Выполняем деление:

=2𝑥^2−3𝑥+1

Итак, результат: 

(6𝑥^3−9𝑥^2+3𝑥)/(3𝑥)=2𝑥^2−3𝑥+1.

1. Умножение одночленов. Умножаем коэффициенты и складываем степени переменных.

2. Деление одночленов. Делим коэффициенты и вычитаем степени переменных.

3. Умножение многочленов. Используем распределительное свойство и собираем подобные члены.

4. Деление многочлена на одночлен. Делим каждый член многочлена на одночлен.

Эти правила помогут вам решать задачи из ОГЭ по алгебре.