Давайте разберем, что такое геометрическая прогрессия и как находить её члены, шаг за шагом.
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.
Обозначим:
𝑎1 — первый член прогрессии,
𝑞 — знаменатель прогрессии,
𝑎𝑛 — 𝑛-й член прогрессии.
Формула для нахождения 𝑛-го члена геометрической прогрессии:
𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)
Пример геометрической прогрессии
Рассмотрим пример: 𝑎1=2 и 𝑞=3.
Первый член: 𝑎1=2
Второй член: 𝑎2=𝑎1⋅𝑞=2⋅3=6
Третий член: 𝑎3=𝑎2⋅𝑞=6⋅3=18
Четвертый член: 𝑎4=𝑎3⋅𝑞=18⋅3=54
Итак, наша геометрическая прогрессия: 2, 6, 18, 54, ...
Нахождение 𝑛-го члена
Теперь давайте найдем, например, 5-й член этой прогрессии.
Используем формулу:
𝑎5=𝑎1⋅𝑞(5−1)=2⋅3^4
Вычислим 3^4:
3^4=3⋅3⋅3⋅3=81
Теперь подставим в формулу:
𝑎5=2⋅81=162
Итак, 5-й член прогрессии равен 162.
Задача из ОГЭ
Задача. Найдите 6-й член геометрической прогрессии, если 𝑎1=5 и 𝑞=2.
Решение:
1. Запишем формулу для 𝑛-го члена:
𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)
2. Подставим известные значения:
𝑎6=5⋅2^(6−1)
3. Вычислим 2^5:
2^5=2⋅2⋅2⋅2⋅2=32
4. Подставим в формулу:
𝑎6=5⋅32=160
Итак, 6-й член прогрессии равен 160.
Попробуйте решить следующую задачу самостоятельно:
Задача. Найдите 4-й член геометрической прогрессии, если 𝑎1=3 и 𝑞=4.
Решение:
1. Запишем формулу для 𝑛-го члена:
𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)
2. Подставим известные значения:
𝑎4=3⋅4^(4−1)
3. Вычислим 4^3:
4^3=4⋅4⋅4=64
4. Подставим в формулу:
𝑎4=3⋅64=192
Итак, 4-й член прогрессии равен 192.
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, что такое геометрическая прогрессия и как находить её члены.