Что такое геометрическая прогрессия и как находить ее элементы (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, что такое геометрическая прогрессия и как находить её члены, шаг за шагом.

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Обозначим:

𝑎1 — первый член прогрессии,

𝑞 — знаменатель прогрессии,

𝑎𝑛 — 𝑛-й член прогрессии.

Формула для нахождения 𝑛-го члена геометрической прогрессии:

𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)

Пример геометрической прогрессии

Рассмотрим пример: 𝑎1=2 и 𝑞=3.

Первый член: 𝑎1=2

Второй член: 𝑎2=𝑎1⋅𝑞=2⋅3=6

Третий член: 𝑎3=𝑎2⋅𝑞=6⋅3=18

Четвертый член: 𝑎4=𝑎3⋅𝑞=18⋅3=54

Итак, наша геометрическая прогрессия: 2, 6, 18, 54, ...

Нахождение 𝑛-го члена

Теперь давайте найдем, например, 5-й член этой прогрессии.

Используем формулу:

𝑎5=𝑎1⋅𝑞(5−1)=2⋅3^4

Вычислим 3^4:

3^4=3⋅3⋅3⋅3=81

Теперь подставим в формулу:

𝑎5=2⋅81=162

Итак, 5-й член прогрессии равен 162.

Задача из ОГЭ

Задача. Найдите 6-й член геометрической прогрессии, если 𝑎1=5 и 𝑞=2.

Решение:

1. Запишем формулу для 𝑛-го члена:

𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)

2. Подставим известные значения:

𝑎6=5⋅2^(6−1)

3. Вычислим 2^5:

2^5=2⋅2⋅2⋅2⋅2=32

4. Подставим в формулу:

𝑎6=5⋅32=160

Итак, 6-й член прогрессии равен 160.

Попробуйте решить следующую задачу самостоятельно:

Задача. Найдите 4-й член геометрической прогрессии, если 𝑎1=3 и 𝑞=4.

Решение:

1. Запишем формулу для 𝑛-го члена:

𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)

2. Подставим известные значения:

𝑎4=3⋅4^(4−1)

3. Вычислим 4^3:

4^3=4⋅4⋅4=64

4. Подставим в формулу:

𝑎4=3⋅64=192

Итак, 4-й член прогрессии равен 192.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, что такое геометрическая прогрессия и как находить её члены.