Как решать задачи на нахождение суммы членов геометрической прогрессии (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как решать задачи на нахождение суммы членов геометрической прогрессии. Для начала, напомним основные понятия и формулы, которые нам понадобятся.

Основные понятия

1. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначается 𝑞).

2. Первый член прогрессии обозначается 𝑎1.

3. Общий член прогрессии (n-й член) обозначается 𝑎𝑛 и вычисляется по формуле:

𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞^(𝑛−1)

4. Сумма первых 𝑛 членов геометрической прогрессии обозначается 𝑆𝑛 и вычисляется по формуле:

𝑆𝑛=𝑎1((𝑞^𝑛)−1)/(𝑞−1), если 𝑞≠1

Пример задачи

Задача. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 3, а знаменатель прогрессии равен 2.

Определение данных

Из условия задачи:

𝑎1=3

𝑞=2

𝑛=5

Подстановка данных в формулу

Используем формулу для суммы первых 𝑛

 членов геометрической прогрессии:

𝑆𝑛=𝑎1((𝑞^𝑛)−1)/(𝑞−1)

Подставляем наши значения:

𝑆5=3((2^5)−1)/(2−1)

Вычисление степени и разности

Сначала вычислим 2^5:

2^5=32

Теперь подставим это значение в формулу:

𝑆5=3(32−1)/(2−1)=3*31/1=3⋅31

Теперь умножим:

𝑆5=3⋅31=93

Ответ: сумма первых 5 членов геометрической прогрессии равна 93.

Дополнительный пример

Задача. Найдите сумму первых 4 членов геометрической прогрессии, если первый член равен 5, а знаменатель прогрессии равен 3.

Определение данных

Из условия задачи:

𝑎1=5

𝑞=3

𝑛=4

Подстановка данных в формулу

Используем формулу для суммы первых 𝑛

 членов геометрической прогрессии:

𝑆𝑛=𝑎1((𝑞^𝑛)−1)/(𝑞−1)

Подставляем наши значения:

𝑆4=5((3^4)−1)/(3−1)

Вычисление степени и разности

Сначала вычислим 3^4:

3^4=81

Теперь подставим это значение в формулу:

𝑆4=5(81−1)/(3−1)=5*80/2=5⋅40

Теперь умножим:

𝑆4=5⋅40=200

Ответ: сумма первых 4 членов геометрической прогрессии равна 200.

Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как решать задачи на нахождение суммы членов геометрической прогрессии.