Иногда в жизни возникают вопросы вроде «как бы закинуть камень дальше всего?». Если кидать слишком низко - он быстро упадёт, слишком высоко - полетит вверх, но не вдаль. Значит вопрос этот предполагает вот что: из всех возможных траекторий нужно выбрать оптимальную, подходящую нам. Но как это сделать, не просчитывая каждую из них вручную? Я расскажу как можно решать подобные физические задачи, используя геометрию из 7-8 класса.
Тело, брошенное под углом к горизонту, летит в поле гравитации, значит мы имеем дело не только с изменением положения тела, но и с изменением его скорости.
Изменяется и скорость и положение по этим законам:
Эти «бездушные» формулы имеют вполне конкретный геометрический смысл: скажем, если в случайный момент времени провести вектор перемещения (3), то его же можно представить в виде суммы векторов начальной скорости (4) и ускорения (5). Выходит что все эти формулы - просто по-умному записанные треугольники, стороны и углы которых меняются в зависимости от параметров полета.
Поставим такую задачу: нужно попасть в подопытного с минимальной возможной начальной скоростью. Предположим он находится на длине L и высоте h от нас.
Треугольник скоростей, получающийся из уравнения (2), в момент попадания будет составлен из начальной скорости (6), gt (7) и, их суммы, конечной скорости (8).
Теперь самое интересное: если поделить уравнение (1) на время, получится что вектор средней скорости S/t можно представить как сумму вектора начальной скорости и половины вектора gt. Обозначим треугольник скоростей как ABC, тогда S/t(AM) в нём медиана. Её можно разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие, где горизонтальная - L/t(AH) - высота треугольника.
Тогда площадь треугольника ABC можно найти с одной стороны как:
а с другой как:
Приравнивая их, время и 1/2 сокращается.
Конечную скорость, записав закон сохранения энергии, можно выразить через начальную скорость и высоту. Подставив результат в полученное уравнение, получим биквадратное уравнение относительно скорости, решая которое получаем (9)
Теперь мы фиксируем h и L, перебираем различные углы бета и смотрим, при каком из них значение скорости будет минимальным. Очевидно, что минимум будет достигаться тогда, когда знаменатель дроби L/sinβ будет максимален, то есть синус равным одному, а сам угол - девяноста градусам. Выходит что если мы хотим попасть в какую-то точку с минимально возможной скоростью, вектор начальной скорости должен быть перпендикулярен скорости в этой точке. Этой идеей мы и будем пользоваться при решении подобных задач.
Теперь наконец-то переходим к практике: решим задачу, повалившую в своё время половину моего класса.
В этот раз нам нужно не просто попасть в конкретную точку, а перебросить целый ангар. Идея задачи такая: вместо того, чтобы бросать с земли, мы, как бы, бросим камень уже с сарая и найдем оптимальную траекторию броска в таких условиях (10), а затем просто подгоним под нее искомую траекторию (11).
То есть теперь нашу небольшую подзадачу можно сформулировать так: «с какой минимальной скоростью нужно бросить мяч, чтобы он пролетел на расстояние L по горизонтали?». Рассмотрим тот же треугольник скоростей, где начальной и конечной скоростями будут скорости в момент касания ангара:
Как мы теперь знаем, при критической траектории скорости будут перпендикулярны, а учитывая тот факт, что вектор средней скорости (12) будет перпендикулярен ускорению свободного падения(в силу того, что конечная точка находится на той же высоте, что начальная), он будет и медианой, и высотой треугольника. Значит треугольник равнобедренный. Расписывая как в прошлой задаче площадь двумя разными способами, получаем:
Теперь мы знаем скорость мяча на высоте h, а хотим найти начальную, самый простой вариант - закон сохранения энергии:
Но мы нашли только начальную скорость, а чтобы задать траекторию нужен ещё и угол. Его легче всего найти из соображения, что горизонтальная составляющая скорости за время полёта не меняется, то есть:
Где тот факт, что угол с горизонталью у конечной скорости равен 45 градусам - следствие того, что треугольник скоростей равнобедренный и прямоугольный.
Ещё более интересная задача:
Цилиндрический резервуар, лежащий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар?
Чисто интуитивно для траектории есть два варианта: либо камень коснётся резервуара в верхней точке (13), либо в каких-то двух других, симметричных относительно центра (14)
Просчитаем оба варианта и посмотрим, при каком из них скорость будет наименьшей.
При траектории (13) условием ее оптимальности будет то, что в верхней точке камень будет обладать центростремительным ускорением(ну действительно, это больше напоминает движение по окружности, чем по параболе), и оно будет совпадать с ускорением свободного падения:
Зная скорость в вершине и тот факт, что она находится на высоте 2R, найдем начальную скорость из закона сохранения энергии:
С (14) всё сложнее. Для начала рассмотрим движение камня между точками касания и нарисуем треугольник перемещений. Также мы сделаем дополнительное построение, примерно как с вектором средней скорости в треугольнике скоростей. Если из уравнения (2) выразить gt и подставить в уравнение (1), выясняется интересная вещь: вектор Vt/2 тоже является медианой, но в треугольнике перемещений.
Теперь чистая геометрия: медиана CD, раз мы ищем оптимальную траекторию, ещё и высота, так как скорости перпендикулярны. Но ∆ABC прямоугольный в силу того, что точки касания находятся на одной высоте, а как мы знаем медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы, CD = AD = DB. То есть ∆ADC - равнобедренный и прямоугольный, значит острые углы в нем по 45 градусов. Если камень касается резервуара, значит и векторы скорости в этот момент являются касательными к окружности. Вектор перемещения в таком случае - хорда, а угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, на которую хорда опирается. Выходит что ∠AOC = ◡AC = 2∠ACD = 90°
Углы AOE, AOC и COF в сумме должны давать 180° как развернутый угол; в силу симметрии ∠AOE = ∠COF = (180° - 90°)/2 = 45°. Тогда высоту точки касания находим как сумму радиуса и его проекции на вертикаль, а длину как диагональ квадрата AOCD. В результате мы свели задачу по перебрасыванию через резервуар к предыдущей задаче с ангаром. Действительно, ничего не изменится если вместо окружности кидать через прямоугольник с найденными нами сторонами. Проделав все те же расчеты, получим, что начальная скорость равна:
Что явно меньше скорости, полученной в (13), значит это и есть оптимальная траектория.
Напоследок хочу рассмотреть классическую задачу:
Склон горы составляет угол β с горизонтом. Под каким углом нужно бросать камень, чтобы дальность полёта была максимальной?
До этого нас просили попасть с минимально возможной скоростью, а тут - на максимально возможную дистанцию. Чтоб понять как это сделать, вернёмся к результату (9) из первой задачи.
Выражая поочередно из уравнения высоту и длину броска, а затем фиксируя начальную скорость, можно исследовать их зависимость от угла β. Получается интересная вещь: и высота, и длина будет максимальной при том же β = 90°, то есть такая траектория Критическая с большой буквы: с одной стороны, фиксируя точку попадания, начальная скорость будет минимальной, с другой, фиксируя начальную скорость, будет максимальным расстояние.
Для решения задачи начертим треугольник перемещений в момент столкновения с горкой:
Учитывая перпендикулярность начальной и конечной скорости, медиана Vt/2 ещё и высота, значит ∆ABC - равнобедренный, ∠ABC = ∠BAC = γ. Тогда пользуясь тем, что ∆ABD - прямоугольный, получим что 2γ + α = 90°, γ = 45° - α/2.
В заключении хочу сказать, что всех полученных результатов можно было бы добиться используя координатный метод, исследуя функции через производную, но мне кажется, что геометрически решать такие задачи намного проще и веселее. Любая задача так или иначе сводится к правильному использованию её условий, а если они заданы геометрически - почему бы не играть по правилам геометрии.