Давайте разберем, как найти центр окружности, используя метод пересечения серединных перпендикуляров. Этот метод часто используется в задачах ОГЭ по геометрии.
Предположим, у нас есть окружность, и нам нужно найти её центр. Для этого нам понадобятся три точки, лежащие на окружности. Обозначим их 𝐴, 𝐵 и 𝐶.
Построение серединных перпендикуляров
1. Найти середины отрезков 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶:
Обозначим середину отрезка 𝐴𝐵 как 𝑀.
Обозначим середину отрезка 𝐵𝐶 как 𝑁.
2. Построить серединные перпендикуляры к отрезкам 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶:
Серединный перпендикуляр к отрезку 𝐴𝐵
— это прямая, проходящая через точку 𝑀
и перпендикулярная к 𝐴𝐵.
Серединный перпендикуляр к отрезку 𝐵𝐶
— это прямая, проходящая через точку 𝑁
и перпендикулярная к 𝐵𝐶.
Пересечение серединных перпендикуляров
Пересечение серединных перпендикуляров к отрезкам 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 даст нам центр окружности. Обозначим эту точку как 𝑂.
Пример.
Рассмотрим конкретный пример с координатами точек: 𝐴(2; 3), 𝐵(6; 7), 𝐶(8; 3)
1. Найдем середины отрезков:
Середина 𝑀 отрезка 𝐴𝐵:
𝑀((2+6)/2; (3+7)/2) = 𝑀(4; 5)
Середина 𝑁 отрезка 𝐵𝐶:
𝑁((6+8)/2; (7+3)/2) = 𝑁(7; 5)
2. Построим серединные перпендикуляры:
Для отрезка 𝐴𝐵:
Сначала найдем угловой коэффициент 𝑘
отрезка 𝐴𝐵:
𝑘(𝐴𝐵) = (7−3)/(6−2) = 1
Угловой коэффициент перпендикуляра будет обратным и с противоположным знаком:
𝑘(⊥𝐴𝐵) = −1
Уравнение перпендикуляра через точку 𝑀(4; 5):
𝑦−5 = −1(𝑥−4) ⟹ 𝑦 = −𝑥+9
Для отрезка 𝐵𝐶:
Найдем угловой коэффициент 𝑘 отрезка 𝐵𝐶:
𝑘(𝐵𝐶) = (3−7)/(8−6) = −2
Угловой коэффициент перпендикуляра будет обратным и с противоположным знаком:
𝑘(⊥𝐵𝐶) = 1/2
Уравнение перпендикуляра через точку 𝑁(7; 5):
𝑦−5 = (1/2)(𝑥−7)⟹ 𝑦= (1/2)𝑥+(1/2)
3. Найдем точку пересечения перпендикуляров:
Решим систему уравнений:
y = -x + 9
y = (1/2)x + (1/2)
Подставим одно уравнение в другое:
−𝑥+9 = (1/2)𝑥+(1/2)
−𝑥−(1/2)𝑥 = (1/2)−9
−(3/2)𝑥=−(17/2)
𝑥=17/3
Найдем 𝑦:
𝑦 = −(17/3)+9=(27−17)/3=10/3
Таким образом, центр окружности находится в точке
𝑂(17/3; 10/3).
Мы последовательно нашли центр окружности, используя метод пересечения серединных перпендикуляров. Этот метод надежен и часто используется в задачах ОГЭ по геометрии.