Свойства вписанных углов (задачи из ОГЭ).

Давайте разберем свойства вписанных углов на примерах, чтобы лучше понять эту тему. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Свойство 1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается

Пример 1.

Пусть у нас есть окружность с центром 𝑂

 и вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶, где точки 𝐴

 и 𝐶 лежат на окружности, а точка 𝐵 — вершина угла.

1. Построим дугу 𝐴𝐶.

2. Измерим дугу 𝐴𝐶 в градусах. Пусть дуга 𝐴𝐶 равна 80°.

3. Тогда вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶 будет равен половине дуги 𝐴𝐶:

∠𝐴𝐵𝐶 = (1/2)⋅80° = 40°

Свойство 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Пример 2.

Пусть у нас есть окружность с вписанными углами ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶, которые опираются на одну и ту же дугу 𝐴𝐶.

1. Построим дугу 𝐴𝐶.

2. Пусть дуга 𝐴𝐶 равна 100°.

3. Тогда вписанные углы ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶

 будут равны:

∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 = (1/2)⋅100° = 50°

Свойство 3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Пример 3.

Пусть у нас есть окружность с диаметром 𝐴𝐶 и вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶, где точка 𝐵 лежит на окружности.

1. Построим диаметр 𝐴𝐶.

2. Вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶 опирается на дугу 𝐴𝐶, которая равна 180° (так как это диаметр).

3. Тогда вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶 будет равен:

∠𝐴𝐵𝐶 = (1/2)⋅180° = 90°

Свойство 4. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.

Пример 4.

Пусть у нас есть окружность с вписанными углами ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶, которые опираются на одну и ту же дугу 𝐴𝐶.

1. Построим дугу 𝐴𝐶.

2. Пусть дуга 𝐴𝐶 равна 120°.

3. Тогда вписанные углы ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶

 будут равны:

∠𝐴𝐵𝐶 = (1/2)⋅120° = 60°

∠𝐴𝐷𝐶 = (1/2)⋅120° = 60°

4. Сумма этих углов будет:

∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶 = 60°+60°=120°

Эти свойства помогают решать задачи на вписанные углы и находить неизвестные углы в окружности. Важно помнить, что вписанные углы всегда опираются на дуги, и их величина зависит от длины этих дуг.