Давайте разберем свойства вписанных углов на примерах, чтобы лучше понять эту тему. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
Свойство 1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
Пример 1.
Пусть у нас есть окружность с центром 𝑂
и вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶, где точки 𝐴
и 𝐶 лежат на окружности, а точка 𝐵 — вершина угла.
1. Построим дугу 𝐴𝐶.
2. Измерим дугу 𝐴𝐶 в градусах. Пусть дуга 𝐴𝐶 равна 80°.
3. Тогда вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶 будет равен половине дуги 𝐴𝐶:
∠𝐴𝐵𝐶 = (1/2)⋅80° = 40°
Свойство 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
Пример 2.
Пусть у нас есть окружность с вписанными углами ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶, которые опираются на одну и ту же дугу 𝐴𝐶.
1. Построим дугу 𝐴𝐶.
2. Пусть дуга 𝐴𝐶 равна 100°.
3. Тогда вписанные углы ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶
будут равны:
∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 = (1/2)⋅100° = 50°
Свойство 3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Пример 3.
Пусть у нас есть окружность с диаметром 𝐴𝐶 и вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶, где точка 𝐵 лежит на окружности.
1. Построим диаметр 𝐴𝐶.
2. Вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶 опирается на дугу 𝐴𝐶, которая равна 180° (так как это диаметр).
3. Тогда вписанный угол ∠𝐴𝐵𝐶 будет равен:
∠𝐴𝐵𝐶 = (1/2)⋅180° = 90°
Свойство 4. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма равна 180°.
Пример 4.
Пусть у нас есть окружность с вписанными углами ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶, которые опираются на одну и ту же дугу 𝐴𝐶.
1. Построим дугу 𝐴𝐶.
2. Пусть дуга 𝐴𝐶 равна 120°.
3. Тогда вписанные углы ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶
будут равны:
∠𝐴𝐵𝐶 = (1/2)⋅120° = 60°
∠𝐴𝐷𝐶 = (1/2)⋅120° = 60°
4. Сумма этих углов будет:
∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐷𝐶 = 60°+60°=120°
Эти свойства помогают решать задачи на вписанные углы и находить неизвестные углы в окружности. Важно помнить, что вписанные углы всегда опираются на дуги, и их величина зависит от длины этих дуг.