Как найти угол между векторами (задачи из ОГЭ)?

Конечно, давайте разберем, как найти угол между векторами на примере задачи из ОГЭ.

Предположим, у нас есть два вектора 

𝑎→ и 𝑏→ с координатами:

𝑎→ = (𝑎1; 𝑎2)

𝑏→ = (𝑏1; 𝑏2)

Наша цель — найти угол 𝜃 между этими векторами.

Формула для нахождения угла.

Для нахождения угла между двумя векторами используется следующая формула:

cos⁡𝜃 = (𝑎→⋅𝑏→)/(|𝑎→||𝑏→|)

где: (𝑎→⋅𝑏→) — скалярное произведение векторов.

|𝑎→| и |𝑏→| — длины (модули) векторов.

Нахождение скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов 

𝑎→ и 𝑏→ вычисляется по формуле:

𝑎→⋅𝑏→ = 𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2

Нахождение модулей векторов.

Модуль вектора 𝑎→ вычисляется по формуле:

|𝑎→| = √(𝑎1^2+𝑎2^2)

Аналогично для вектора 𝑏→:

|𝑏→| = √(𝑏1^2+𝑏2^2)

Подстановка в формулу и нахождение угла.

Теперь, когда у нас есть все составляющие, мы можем подставить их в формулу для нахождения cos⁡𝜃:

cos⁡𝜃 = (𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2) / (√(𝑎1^2+𝑎2^2)⋅ √(𝑏1^2+𝑏2^2))

После этого, чтобы найти сам угол 𝜃

, нужно воспользоваться арккосинусом:

𝜃 = arccos⁡((𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2) / (√(𝑎1^2+𝑎2^2)⋅ √(𝑏1^2+𝑏2^2))

Пример.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть:

𝑎→ = (3; 4)

𝑏→ = (1; 2)

1. Скалярное произведение:

𝑎→⋅𝑏→ = 3⋅1+4⋅2 = 3+8 = 11

2. Модуль вектора 𝑎→:

|𝑎→| = √(3^2+4^2) = √(9+16) = √25 = 5

3. Модуль вектора 𝑏→:

|𝑏→| = √(1^2+2^2) = √(1+4) = √5

4. Подстановка в формулу:

cos⁡𝜃 = 11/(5⋅√5) = 11/(5√5) = 11√5/(5⋅√5√5)=11√5/25

5. Нахождение угла:

𝜃 = arccos⁡(11√5/25)

Таким образом, мы нашли угол 𝜃 между векторами 𝑎→ и 𝑏→. Важно помнить, что арккосинус может быть вычислен с помощью калькулятора или таблиц значений.

Надеюсь, это объяснение было полезным и понятным!