Секущая к окружности (задачи из ОГЭ).

Давайте разберем, что такое секущая к окружности, и как это понятие может быть использовано в задачах из ОГЭ.

Определение секущей.

Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках. В отличие от касательной, которая касается окружности в одной точке, секущая проходит через окружность, создавая два пересечения.

Пример.

Представьте окружность с центром 𝑂

 и радиусом 𝑅. Нарисуем прямую, которая пересекает эту окружность в двух точках, скажем, 𝐴 и 𝐵. Эта прямая и будет секущей.

Свойства секущей.

1. Длина отрезков. Если у нас есть две секущие, пересекающиеся вне окружности, то произведение длин отрезков одной секущей равно произведению длин отрезков другой секущей. Это называется теоремой о произведении отрезков секущих.

2. Углы. Угол между секущими равен половине разности дуг, заключенных между точками пересечения.

Пример задачи из ОГЭ.

Задача. В окружности с центром 𝑂 и радиусом 𝑅 проведены две секущие, пересекающиеся в точке 𝑃 вне окружности. Секущие пересекают окружность в точках 𝐴, 𝐵 и 𝐶, 𝐷 соответственно. Известно, что 𝑃𝐴=4 см, 𝑃𝐵=6 см, 𝑃𝐶=3 см. Найдите длину отрезка 𝑃𝐷.

Решение:

1. По теореме о произведении отрезков секущих, имеем:

𝑃𝐴⋅𝑃𝐵=𝑃𝐶⋅𝑃𝐷

2. Подставим известные значения:

4⋅6 = 3⋅𝑃𝐷

3. Решим уравнение:

24 = 3⋅𝑃𝐷

𝑃𝐷 = 24/3 = 8 см

Таким образом, длина отрезка 𝑃𝐷 равна 8 см.

Секущая — это важное понятие в геометрии, которое часто встречается в задачах ОГЭ. Понимание свойств секущих и умение применять теоремы о произведении отрезков секущих поможет ученикам успешно решать задачи и на экзаменах, и в повседневной жизни.