Что такое линейное уравнение и как его решать (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, что такое линейное уравнение и как его решать, на примерах, которые могут встретиться в ОГЭ.

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение — это уравнение вида 𝑎𝑥+𝑏=0, где 𝑎 и 𝑏 — это числа, а 𝑥 — переменная. Важно, что 𝑎≠0, иначе уравнение не будет линейным.

Пример 1. Простое линейное уравнение

Рассмотрим уравнение:

2𝑥+3=7

Переносим свободный член на другую сторону уравнения

Чтобы решить это уравнение, сначала нужно изолировать переменную 𝑥. Для этого перенесем свободный член (в данном случае, это 3) на другую сторону уравнения, изменив его знак:

2𝑥=7−3

Упрощаем правую часть уравнения

Выполним вычитание:

2𝑥=4

Делим обе стороны уравнения на коэффициент при 𝑥

Теперь нужно разделить обе стороны уравнения на коэффициент при 𝑥 (в данном случае, это 2):

𝑥 = 4/2

Находим значение 𝑥

Выполним деление:

𝑥=2

Таким образом, решение уравнения 2𝑥+3=7

 — это 𝑥=2.

Пример 2. Линейное уравнение с дробями

Рассмотрим уравнение:

(3𝑥/2) − 5 = (𝑥/4) + 1

Приводим все члены уравнения к общему знаменателю

Для удобства можно умножить все уравнение на общий знаменатель (в данном случае, это 4):

4⋅((3𝑥/2) − 5) = 4⋅((𝑥/4) + 1)

Упрощаем уравнение

Выполним умножение:

2⋅3𝑥−20=𝑥+4

6𝑥−20=𝑥+4

Переносим все члены с 𝑥

 в одну сторону, а свободные члены — в другую

Перенесем 𝑥 в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

6𝑥−𝑥=4+20

Упрощаем уравнение

Выполним вычитание и сложение:

5𝑥=24

Делим обе стороны уравнения на коэффициент при 𝑥

Теперь разделим обе стороны уравнения на 5:

𝑥=24/5

Находим значение 𝑥

Выполним деление:

𝑥=4.8

Таким образом, решение уравнения 

(3𝑥/2)−5=(𝑥/4)+1 — это 𝑥=4.8.

Пример 3. Линейное уравнение с параметром

Рассмотрим уравнение:

(𝑎+1)𝑥−3=2𝑎

Переносим свободный член на другую сторону уравнения

Перенесем свободный член (в данном случае, это -3) на другую сторону уравнения:

(𝑎+1)𝑥=2𝑎+3

Делим обе стороны уравнения на коэффициент при 𝑥

Теперь разделим обе стороны уравнения на 𝑎+1:

𝑥=(2𝑎+3)/(𝑎+1)

Таким образом, решение уравнения (𝑎+1)𝑥−3=2𝑎 — это 

𝑥=(2𝑎+3)/(𝑎+1), при условии, что 𝑎≠−1 (чтобы знаменатель не был равен нулю).

Линейные уравнения решаются путем изоляции переменной 𝑥 и выполнения арифметических операций. Важно помнить, что все действия должны быть выполнены последовательно и аккуратно, чтобы не допустить ошибок.