Что такое теорема косинусов(задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем теорему косинусов подробно и на примерах, чтобы понять её суть и применение.

Введение в теорему косинусов.

Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора для любого треугольника, а не только для прямоугольного. Она позволяет найти длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Формулировка теоремы косинусов:

Для любого треугольника 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝛾

 между сторонами 𝑎 и 𝑏, длина стороны 𝑐

 вычисляется по формуле:

𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2−2𝑎𝑏⋅cos⁡(𝛾)

Понимание формулы.

Давайте разберем, что означает каждый элемент формулы:

𝑎 и 𝑏 — это длины двух сторон треугольника.

𝛾 — это угол между этими сторонами.

𝑐 — это длина стороны, которую мы хотим найти.

cos⁡(𝛾) — это косинус угла 𝛾.

Рассмотрим конкретный пример, чтобы понять, как применять теорему косинусов.

Задача:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известны длины сторон 𝑎=5 см, 𝑏=7 см и угол между ними 𝛾=60°. Найдите длину стороны 𝑐.

Решение:

1. Запишем формулу теоремы косинусов:

𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2−2𝑎𝑏⋅cos⁡(𝛾)

2. Подставим известные значения:

𝑐^2=5^2+7^2−2⋅5⋅7⋅cos⁡(60°)

3. Вычислим значения:

5^2=25

7^2=49

cos⁡(60°)=0.5

4. Подставим эти значения в формулу:

𝑐^2=25+49−2⋅5⋅7⋅0.5

𝑐^2=25+49−35

𝑐^2=39

5. Найдем 𝑐, взяв квадратный корень из 39:

𝑐=39≈6.24 см

Проверка и интерпретация результата.

Мы нашли, что длина стороны 𝑐 примерно равна 6.24 см. Это значение имеет смысл, так как оно находится между длинами сторон 𝑎 и 𝑏, что логично для треугольника.

Рассмотрим еще один пример для закрепления.

Задача:

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известны длины сторон 𝑎=8 см, 𝑏=6 см и угол между ними 𝛾=45°. Найдите длину стороны 𝑐.

Решение:

1. Запишем формулу теоремы косинусов:

𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2−2𝑎𝑏⋅cos⁡(𝛾)

2. Подставим известные значения:

𝑐^2=8^2+6^2−2⋅8⋅6⋅cos⁡(45°)

3. Вычислим значения:

8^2=64

6^2=36

cos⁡(45°)=√2/2≈0.707

4. Подставим эти значения в формулу:

𝑐^2=64+36−2⋅8⋅6⋅0.707

𝑐^2=64+36−67.872

𝑐^2=32.128

5. Найдем 𝑐, взяв квадратный корень из 32.128:

𝑐=32.128≈5.66 см

Теперь вы знаете, как применять теорему косинусов для решения задач. Эта теорема полезна для нахождения сторон треугольника, когда известны две стороны и угол между ними. Практикуйтесь на различных задачах, чтобы лучше понять и запомнить этот метод.