Давайте разберем теорему косинусов подробно и на примерах, чтобы понять её суть и применение.
Введение в теорему косинусов.
Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора для любого треугольника, а не только для прямоугольного. Она позволяет найти длину стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними.
Формулировка теоремы косинусов:
Для любого треугольника 𝐴𝐵𝐶 с углом 𝛾
между сторонами 𝑎 и 𝑏, длина стороны 𝑐
вычисляется по формуле:
𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2−2𝑎𝑏⋅cos(𝛾)
Понимание формулы.
Давайте разберем, что означает каждый элемент формулы:
𝑎 и 𝑏 — это длины двух сторон треугольника.
𝛾 — это угол между этими сторонами.
𝑐 — это длина стороны, которую мы хотим найти.
cos(𝛾) — это косинус угла 𝛾.
Рассмотрим конкретный пример, чтобы понять, как применять теорему косинусов.
Задача:
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известны длины сторон 𝑎=5 см, 𝑏=7 см и угол между ними 𝛾=60°. Найдите длину стороны 𝑐.
Решение:
1. Запишем формулу теоремы косинусов:
𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2−2𝑎𝑏⋅cos(𝛾)
2. Подставим известные значения:
𝑐^2=5^2+7^2−2⋅5⋅7⋅cos(60°)
3. Вычислим значения:
5^2=25
7^2=49
cos(60°)=0.5
4. Подставим эти значения в формулу:
𝑐^2=25+49−2⋅5⋅7⋅0.5
𝑐^2=25+49−35
𝑐^2=39
5. Найдем 𝑐, взяв квадратный корень из 39:
𝑐=39≈6.24 см
Проверка и интерпретация результата.
Мы нашли, что длина стороны 𝑐 примерно равна 6.24 см. Это значение имеет смысл, так как оно находится между длинами сторон 𝑎 и 𝑏, что логично для треугольника.
Рассмотрим еще один пример для закрепления.
Задача:
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известны длины сторон 𝑎=8 см, 𝑏=6 см и угол между ними 𝛾=45°. Найдите длину стороны 𝑐.
Решение:
1. Запишем формулу теоремы косинусов:
𝑐^2=𝑎^2+𝑏^2−2𝑎𝑏⋅cos(𝛾)
2. Подставим известные значения:
𝑐^2=8^2+6^2−2⋅8⋅6⋅cos(45°)
3. Вычислим значения:
8^2=64
6^2=36
cos(45°)=√2/2≈0.707
4. Подставим эти значения в формулу:
𝑐^2=64+36−2⋅8⋅6⋅0.707
𝑐^2=64+36−67.872
𝑐^2=32.128
5. Найдем 𝑐, взяв квадратный корень из 32.128:
𝑐=32.128≈5.66 см
Теперь вы знаете, как применять теорему косинусов для решения задач. Эта теорема полезна для нахождения сторон треугольника, когда известны две стороны и угол между ними. Практикуйтесь на различных задачах, чтобы лучше понять и запомнить этот метод.