Что такое теорема синусов (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем теорему синусов и посмотрим, как она применяется на примерах, которые могут встретиться на ОГЭ.

Теорема синусов.

Теорема синусов утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трех сторон. Формально это записывается так:

𝑎/sin⁡𝐴=𝑏/sin⁡𝐵=𝑐/sin⁡𝐶=2𝑅

где 𝑎, 𝑏, и 𝑐 — стороны треугольника, угол 𝐴, 𝐵, и 𝐶 — углы, противолежащие этим сторонам, а 𝑅 — радиус описанной окружности треугольника.

Пример 1. Найти сторону треугольника.

Условие. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известны стороны 𝑎=7 см и угол 𝐴=30°. Найдите сторону 𝑐, если угол 𝐵=45°.

Решение:

1. Запишем теорему синусов для данного треугольника:

𝑎/sin⁡𝐴=𝑏/sin⁡𝐵=𝑐/sin⁡𝐶

2. Подставим известные значения:

7/sin⁡30° = 𝑏/sin⁡45° = 𝑐/sin⁡𝐶

3. Вычислим синусы углов:

sin⁡30°=0.5

sin⁡45°=√2/2

4. Подставим значения синусов:

7/0.5 = 14

5. Найдем угол 𝐶 через сумму углов треугольника:

<𝐴+<𝐵+<𝐶=180°

30°+45°+<𝐶=180°

<𝐶=180°−75°=105°

6.Теперь подставим угол 𝐶 в теорему синусов:

𝑐/sin⁡105°=14

7. Вычислим синус угла 105°:

sin⁡105°=sin⁡(180°−75°)=sin⁡75°

sin⁡75° = sin⁡(45° + 30°) = sin⁡45°cos⁡30° + cos⁡45°sin⁡30°

sin⁡75° = (√2/2)⋅(√3/2) + (√2/2)⋅0.5

sin⁡75°=√6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4

8. Подставим значение синуса:

𝑐/((√6 + √2)/4)=14

9. Решим уравнение для 𝑐:

𝑐=14⋅((√6 + √2)/4)

𝑐=7((√6 + √2)/2)

Таким образом, сторона 𝑐 равна 

7((√6 + √2)/2) см.

Пример 2. Найти угол треугольника.

Условие: В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известны стороны 𝑎=8 см, 𝑏=6 см и сторона 𝑐=10 см. Найдите угол 𝐴.

Решение:

1. Запишем теорему синусов для данного треугольника:

𝑎/sin⁡𝐴=𝑏/sin⁡𝐵=𝑐/sin⁡𝐶

2. Найдем радиус описанной окружности 𝑅

:

𝑅=𝑎/(2sin⁡𝐴)

3. Используем формулу для 𝑅

 через стороны и углы:

𝑅=𝑎𝑏𝑐/(4𝑆)

4. Найдем площадь треугольника 𝑆

 через формулу Герона:

𝑆=√(𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐))

𝑝=(𝑎+𝑏+𝑐)/2=(8+6+10)/2=12

𝑆=√(12(12−8)(12−6)(12−10)) = √12⋅4⋅6⋅2=√576=24

5. Теперь найдем 𝑅:

𝑅=8⋅6⋅10/(4⋅24)=480/96=5

6.Используем теорему синусов для нахождения угла 𝐴:

8/sin⁡𝐴=2𝑅=10

sin⁡𝐴=8/10=0.8

7. Найдем угол 𝐴:

<𝐴=arcsin⁡(0.8)≈53.13°

Таким образом, угол 𝐴 равен примерно 53.13°.

Эти примеры показывают, как можно использовать теорему синусов для решения задач на нахождение сторон и углов треугольника.