Что такое параллельный перенос (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, что такое параллельный перенос, и как его можно объяснить на примерах.

Определение параллельного переноса.

Параллельный перенос (или трансляция) — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. При этом форма и размеры фигуры не изменяются.

Пример на координатной плоскости.

Рассмотрим пример на координатной плоскости. Пусть у нас есть точка 𝐴(2; 3). Мы хотим выполнить параллельный перенос этой точки на вектор 𝑣→=(4; −2).

1. Вектор 𝑣→=(4; −2) означает, что мы перемещаем точку на 4 единицы вправо и на 2 единицы вниз.

2. Новые координаты точки 𝐴′ будут (2+4; 3−2)=(6; 1).

Таким образом, точка 𝐴(2; 3) после параллельного переноса на вектор 𝑣→=(4; −2) перейдет в точку 𝐴′(6; 1).

Пример с фигурой.

Теперь рассмотрим пример с фигурой, например, треугольником. Пусть у нас есть треугольник с вершинами 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 4) и 𝐶(5; 1). Мы хотим выполнить параллельный перенос этого треугольника на вектор 𝑣→=(2; 3).

1. Переносим каждую вершину треугольника на вектор 𝑣→:

- Точка 𝐴(1; 2) перейдет в точку 𝐴′(1+2; 2+3)=(3; 5).

- Точка 𝐵(3; 4) перейдет в точку 𝐵′(3+2; 4+3)=(5; 7).

- Точка 𝐶(5; 1) перейдет в точку 𝐶′(5+2; 1+3)=(7; 4).

2. Новые координаты вершин треугольника после параллельного переноса:

𝐴′(3; 5), 𝐵′(5; 7), 𝐶′(7; 4).

Проверка свойств.

Важно отметить, что при параллельном переносе:

- Расстояния между точками не изменяются.

- Углы между сторонами фигуры остаются такими же.

- Фигура сохраняет свою форму и размеры.

Применение в задачах ОГЭ.

В задачах ОГЭ часто требуется выполнить параллельный перенос и найти новые координаты точек или проверить, как изменится фигура. Например, может быть дана фигура и вектор переноса, и нужно найти координаты новой фигуры.

Пример задачи:

Дан квадрат с вершинами 𝐴(1; 1), 𝐵(1; 3), 𝐶(3; 3), 𝐷(3; 1). Выполните параллельный перенос на вектор 𝑣→=(2; −1).

Решение:

1. Переносим каждую вершину квадрата:

𝐴(1; 1)→𝐴′(1+2; 1−1)=(3; 0)

𝐵(1; 3)→𝐵′(1+2; 3−1)=(3; 2)

𝐶(3; 3)→𝐶′(3+2; 3−1)=(5; 2)

𝐷(3; 1)→𝐷′(3+2; 1−1)=(5; 0)

2. Новые координаты вершин квадрата:

𝐴′(3; 0), 𝐵′(3; 2), 𝐶′(5; 2), 𝐷′(5; 0)

Таким образом, квадрат после параллельного переноса на вектор 𝑣→=(2; −1) будет иметь новые координаты вершин.

Параллельный перенос — это простое, но важное геометрическое преобразование, которое сохраняет форму и размеры фигуры. Понимание этого преобразования помогает решать множество задач в геометрии и на экзаменах, таких как ОГЭ.