Свойства числовых неравенств
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений заданий № 758 и 760 из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить свойства числовых неравенств.
Задание 758:
Зная, что 5 < x < 8, оцените значение выражения:
а) 6x; б) –10x; в) x – 5; г) 3x + 2.
Решение:
а) 6x.
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 165 учебника даётся теорема: если a < b и b < c, то a < с.
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 167 учебника даётся теорема: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Доказательство этих теорем приводить не будем — это уже сделали авторы учебника. Мы просто воспользуемся ими для решения.
Умножим на 6 обе части каждого из неравенств 5 < x и x < 8 и запишем результат в виде двойного неравенства:
5 * 6 < 6x < 8 * 6, 30 < 6x < 48.
Ответ: 6x больше 30, но меньше 48.
б) –10x.
В отличие от предыдущего задания, здесь 5, x и 8 умножаются на одно и то же отрицательное число.
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 167 учебника даётся теорема: если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, и изменить знак на противоположный, то получится верное равенство.
Проще говоря, если 5, x и 8, умножить на одно и то же отрицательное число, (в данном случае это минус десять) без изменения знака на противоположный, то в неравенствах 5 < x и x < 8 знак «<» поменяется на знак «>».
5 * (–10) > –10x > 8 * (–10), –50 > –10x > –80 или –80 < –10x < –50.
Ответ: –10x больше –80, но меньше –50.
в) x – 5;
В главе IV §10 п. 29 учебника на странице 166 учебника даётся теорема: если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получиться верное неравенство.
Доказательство этой теоремы приводить не будем — это уже сделали авторы учебника. Мы просто воспользуемся ей для решения.
В данном случае к обеим частям неравенства добавлено одно и то же число – 5. Прибавим минус пять к обеим частям каждого из неравенств 5 < x и x < 8 и запишем результат в виде двойного неравенства:
5 – 5 < x – 5 < 8 – 5, 0 < x – 5 < 3.
Ответ: x – 5 больше нуля, но меньше трёх.
г) 3x + 2.
Умножим на 3 обе части каждого из неравенств 5 < x и x < 8, затем прибавим к полученному результату 2 и запишем результат в виде двойного неравенства:
5 * 3 + 2 < 3x + 2 < 8 * 3 + 2, 17 < 3x + 2 < 26.
Ответ: 3x +2 больше семнадцати, но меньше двадцати шести.
Задание 760:
Решение:
P. S. К сожалению, даже в восьмом классе некоторые дети (а иногда и их родители) путают знаки «<» и «>». Понять значение знаков может помочь правило: где больше, туда ротик больше. Например:
285 > 163 и 163 < 285.
Независимо от того, слева или справа стоит число 285, ротик раскрыт в её сторону, так как оно больше числа 163.