Как известно, в математике многомерные пространства были введены Германом Грассманом в середине XIX века в его учении о протяженности (Grassmann, H.: Die Ausdehnungslehre. Berlin (1862)). Эта идея (многомерности) не встретила среди математиков резкого неприятия и быстро прижилась.
Вскоре понятие многомерного пространства было обобщено на все виды пространств (неевклидовы, проективные, топологические и т.д.). Как следствие, возникло понятие бесконечномерного пространства (гильбертово пространство).
В отличие от математики, в физике идея многомерия, встретившись с рядом определенных трудностей, не была воспринята так легко и просто.
Древнегреческая математика пребывала в состоянии, свободном от конфликта с формой представления, поскольку все ее построения, не выходящие за пределы трехмерного пространства, были наглядны и находились в полном согласии с чувственно воспринимаемым опытом. Это идиллическое состояние математики продлилось вплоть до начала XIX века, пока не было взорвано открытиями неевклидовых геометрий и многомерных пространств. Синг пишет: ``Открытие неевклидовых геометрий было благотворным разрушающим ударом по иллюзиям, однако, чтобы полностью ликвидировать синдром Пигмалиона в геометрии, требовалось куда большее время. Я сомневаюсь в том, устранен ли он полностью и по сей день. Математики наверняка освободились от него, в отношении физиков у меня нет такой уверенности, а что касается широкой публики, то тут я полон самых мрачных подозрений'' [1,c. 25]. Трехмерное пространство, наделенное геометрией Евклида, было абсолютизировано Ньютоном. Определение пространства, данное Ньютоном, полностью следуя духу древнегреческой математики и философии, явилось незыблемой истиной для последующих поколений и, можно сказать, не утратило своего значения и до сих пор. Совершенно справедливы слова Л.С. Полака, написанные им в предисловии к ``Математическим началам натуральной философии'' Ньютона:
``Школьные годы делают ньютонианцами всех людей на нашей планете. Чуть ли не с молоком матери мы впитываем в нашу духовную плоть три аксиомы Ньютона, его пространство и время, его закон всемирного тяготения и многое, многое другое'' [2, c. 9]. По Ньютону пространство, являясь некоей субстанцией, абсолютно и не зависит от находящихся в нем тел: ``Абсолютное пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным'' [2, c. 30].
Любопытно, и в то же время весьма примечательно, что у истоков физического анализа размерности стоял основоположник априорной теории пространства и времени Иммануил Кант. Так, в своей ранней `докритического периода' работе ``Мысли об истинной оценке живых сил и разбор доказательств, которыми пользовались г-н Лейбниц и другие знатоки механики в этом спорном вопросе, а также некоторые предварительные соображения, касающиеся сил тел вообще'' Кант пишет: ``Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния'' [3, c. 71]. Таким образом, вопрос о размерности мира был переведен в плоскость физики. Первую попытку физического анализа понятия размерности предпринял Эренфест. Эренфест переносит основные физические законы с трехмерного евклидова пространства (в рамках которого они справедливы) на n-мерное пространство, при этом форма фундаментальных уравнений остается прежней: уравнение Пуассона, волновое уравнение, законы Ньютона, квантовый постулат Бора, уравнение Шредингера и т.д. Насколько правомерна подобного рода экстраполяция для нас сейчас неважно, хотя по этому поводу существуют довольно серьезные возражения. Эренфест показывает, что в n-мерном мире зависимость силы от расстояния обратно пропорциональна степени n-1, атом в n-мерном мире является нестабильным, нестабильна также планетная система. Важность этой работы Эренфеста состоит в установлении границ, в которых трехмерность имеет реальное физическое обоснование. Эти границы сверху определяются масштабами Солнечной системы, а снизу - атомными масштабами. Подробный анализ работ Эренфеста по проблеме размерности содержится в книге Г.Е. Горелика [4].
Практически одновременно с работами Эренфеста, в 1921г. появляется статья Теодора Калуцы ``К проблеме объединения физики'' [5], где предлагается 5-мерное обобщение общей теории относительности Эйнштейна. Введение пятой координаты дает возможность объединения уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла, что позволяет рассматривать гравитацию и электромагнетизм с единой точки зрения. При этом Калуца вводит так называемое условие цилиндричности по пятой координате, т.е. переменные поля зависят от четырех координат x1, x2, x3, x4, но не от пятой x5.
Пятимерная теория Калуцы встретила большое сопротивление со стороны физиков. Прежде всего, не был ясен физический смысл пятой координаты, а также почему пятое измерение остается ненаблюдаемым.
Первой попыткой преодоления указанных трудностей явилась работа Эйнштейна и Бергмана 1938г. ``Обобщение теории электричества Калуцы'' [6. c. 492]. Эйнштейн и Бергман пишут: ``Излагаемая здесь теория отличается от теории Калуцы в одном существенном пункте: мы приписываем пятому измерению физическую реальность, тогда как в теорию Калуцы пятое измерение вводится лишь с целью получить новые компоненты метрического тензора, описывающие электромагнитное поле'' [6,c. 492] и далее ``Если попытка Калуцы и является реальным шагом вперед, то лишь ценой введения пятимерного пространства. Было много попыток удержать существенные формальные результаты, полученные Калуцей, не принося в жертву четырехмерный характер физического пространства. Это показывает, как сопротивляется наша интуиция введению пятого измерения. Но рассматривая и сравнивая все эти попытки, приходим к заключению, что все старания не исправили дела. Представляется невозможным формулировать идею Калуцы простым путем, не вводя пятого измерения. Поэтому мы вынуждены принять пятое измерение всерьез, хотя прямой опыт и не побуждает нас к этому'' [6, c.498].
Эйнштейн и Бергман предположили, что мир замкнут (свернут) по пятой координате, так что изменение любой функции поля вдоль пятой координаты пренебрежимо мало и в среднем можно считать эту функцию зависящей только от четырех координат. Компактификация Эйнштейна-Бергмана, эквивалентная условию цилиндричности Калуцы, в дальнейшем стала одним из центральных моментов современных многомерных теорий (см. например [7,8]).
В работе Эйнштейна и Бергмана была объяснена ненаблюдаемость пятого измерения, однако, не было указано какое физическое явление соответствует периодичности мира по пятой координате. Согласно современным представлениям эта периодичность связывается с величиной электрического заряда электрона. Есть и другая интерпретация: Ю.Б. Румер приписывает периоду пятой координаты численную величину постоянной Планка [9]. Благодаря компактификации Эйнштейна-Бергмана закон убывания гравитационных и электромагнитных сил обратно пропорционален квадрату расстояния, а не кубу, как это имело бы место в предположении о равноправии пятой координаты с остальными четырьмя.
Таким образом, после работ Калуцы, Эйнштейна и Бергмана вопрос о многомерности мира был переведен на субатомный уровень. Это находится в полном согласии с границами, проведенными Эренфестом для трехмерности физического пространства, напомним, что сверху они определяются границами Солнечной системы, а снизу - атомными масштабами. Следовательно, мир многомерен на уровне субатомных частиц.
Однако вопрос о существовании пространства и времени на субатомном уровне остается открытым до сих пор. Циммерман [10] отмечал, что классические понятия пространства и времени имеют силу только на макроскопическом уровне (и только в случае, когда система часов и стержней может быть введена без значительного изменения физической ситуации). Понятие мерного стержня на микроскопическом уровне вообще не имеет смысла [11]. Таким образом, применение классической пространственно-временной картины на субатомном уровне представляет собой очень далеко идущую экстраполяцию.
ЛИТЕРАТУРА
1. Синг Дж. Беседы о теории относительности. М.: Мир, 1973.
2. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989.
3. Кант И. Сочинения. М.: Мысль, 1963, Т. 1.
4. Горелик Г.Е. Почему пространство трехмерно? М.: Наука, 1982.
5. Kaluza T. Zum Unitätsproblem der Physik // Sitzungsberichte Preußische Akademie der Wissenschaften. — 1921. — С. 966—972.
6. Эйнштейн А., Бергман П. Обобщение теории электричества Калуцы. // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1966, Т.~2, с. 492-513.
7. Владимиров Ю. С. Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий. М.: Изд-во МГУ, 1987.
8. Владимиров Ю. С. Пространство-время: явные и скрытые размерности. М.: Наука, 1989.
9. Румер Ю. Б. Исследования по 5-оптике. М.: Гостехиздат, 1956.
10. Zimmerman E.J. The macroscopic nature of space-time // Am. J. Phys. 1962. V. 30. P. 97–105.
11. Saleker H., Wigner E.P. Quantum limitations of the measurement of space-time distances // Phys. Rev. 1958. V. 109. P. 571–577.