Давайте разберем свойства ромба на примерах. Начнем с определения и основных свойств ромба, а затем рассмотрим несколько задач.
Определение ромба.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Основные свойства ромба.
1. Стороны. Все четыре стороны ромба равны.
2. Углы. Противоположные углы ромба равны.
3. Диагонали. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90 градусов) и делят друг друга пополам.
4. Диагонали и углы. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Пример 1. Найти длину диагоналей ромба.
Условие. В ромбе ABCD длина стороны равна 10 см, а один из углов равен 60 градусов. Найдите длины диагоналей.
Решение:
1. Обозначим диагонали ромба как 𝑑1
и 𝑑2.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его на четыре прямоугольных треугольника.
3. Рассмотрим один из этих треугольников. Пусть точка пересечения диагоналей — это точка O.
4. В треугольнике AOB угол AOB равен 90 градусов, угол OAB равен 30 градусов (половина угла 60 градусов).
5. В прямоугольном треугольнике AOB гипотенуза AB равна 10 см, а угол OAB равен 30 градусов.
6. В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов, катет, лежащий напротив угла 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит,
𝐴𝑂=𝐴𝐵/2=10/2=5 см.
7. Поскольку AO — это половина диагонали 𝑑1, то 𝑑1=2⋅𝐴𝑂=2⋅5=10 см.
8. Теперь найдем 𝑑2. В треугольнике AOB катет OB можно найти по теореме Пифагора: 𝑂𝐵 = √(𝐴𝐵^2−𝐴𝑂^2) = √(10^2−5^2) = √(100−25) = √75=5√3 см.
9. Поскольку OB — это половина диагонали 𝑑2, то 𝑑2=2⋅𝑂𝐵=2⋅5√3=10√3 см.
Ответ: Длины диагоналей ромба равны 10 см и 10√3 см.
Пример 2. Найти площадь ромба.
Условие. В ромбе ABCD длины диагоналей равны 12 см и 16 см. Найдите площадь ромба.
Решение:
1. Площадь ромба можно найти по формуле:
𝑆=(1/2)⋅𝑑1⋅𝑑2, где 𝑑1 и 𝑑2 — длины диагоналей.
2. Подставим значения диагоналей в формулу:
𝑆=(1/2)⋅12⋅16.
3. Выполним вычисления:
𝑆=(1/2)⋅192=96 см².
Ответ: Площадь ромба равна 96 см².
Пример 3. Найти углы ромба.
Условие. В ромбе ABCD одна из диагоналей равна 8 см, а другая — 6 см. Найдите углы ромба.
Решение:
1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его на четыре прямоугольных треугольника.
2. Рассмотрим один из этих треугольников. Пусть точка пересечения диагоналей — это точка O.
3. В треугольнике AOB гипотенуза AB равна стороне ромба. Найдем AB по теореме Пифагора: 𝐴𝐵 = √(𝐴𝑂^2+𝐵𝑂^2), где
𝐴𝑂=𝑑1/2=8/2=4 см и
𝐵𝑂=𝑑2/2=6/2=3 см.
4. Подставим значения: 𝐴𝐵 = √(4^2+3^2) = √(16+9) = 25 = 5 см.
5. . Теперь найдем углы. В треугольнике AOB угол OAB можно найти по формуле тангенса:
tg(∠𝑂𝐴𝐵) = 𝐵𝑂/𝐴𝑂=3/4.
6. Найдем угол:
∠𝑂𝐴𝐵=arctg(3/4)≈36.87 градусов.
7. Поскольку диагонали делят углы пополам, угол AOB равен 2⋅36.87≈73.74 градусов.
8. Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны 73.74 градусов и 180−73.74=106.26 градусов.
Ответ: углы ромба равны примерно 73.74 градусов и 106.26 градусов.
Эти примеры помогут ученикам понять, как применять свойства ромба для решения различных задач.