Как найти высоту треугольника (задачи из ОГЭ)?

Давайте разберем, как найти высоту треугольника на примерах. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на ее продолжение).

Пример 1. Равносторонний треугольник.

Задача. Найти высоту равностороннего треугольника со стороной 𝑎.

Решение:

1. Построение высоты. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60°. Высота, опущенная из вершины на противоположную сторону, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

2. Использование теоремы Пифагора. Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Гипотенуза равна 𝑎, а одна из катетов (половина стороны треугольника) равна 𝑎/2. Обозначим высоту через ℎ.

По теореме Пифагора:

ℎ^2+(𝑎/2)^2=𝑎^2

3. Решение уравнения:

h^2 + (a^2)/4 = a^2

h^2 = a^2 - (a^2)/4

h^2 = (4a^2)/4 - (a^2)/4

h^2 = (3a^2)/4

h = √((3a^2)/4) = a√3/2

Таким образом, высота равностороннего треугольника равна a√3/2.

Пример 2. Прямоугольный треугольник.

Задача. Найти высоту прямоугольного треугольника, если известны катеты a и b.

Решение:

1. Построение высоты. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два прямоугольных треугольника.

2. Использование площади. Площадь треугольника можно найти двумя способами:

- Через катеты: S = (1/2)ab

- Через высоту на гипотенузу c: S = (1/2)ch

Приравняем эти выражения: (1/2)ab = (1/2)ch

ab = ch

h = (ab)/c

Где c — гипотенуза, которую можно найти по теореме Пифагора: c = √(a^2 + b^2)

Таким образом, высота h равна:

h = (ab)/√(a^2 + b^2).

Пример 3. Произвольный треугольник.

Задача. Найти высоту произвольного треугольника, если известны стороны a, b, c и площадь S.

Решение:

1. Использование площади.

Площадь треугольника можно найти через формулу Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

Где p — полупериметр треугольника:

p = (a + b + c)/2

2. Высота на сторону a:

S = (1/2)ah

h = (2S)/a

Таким образом, высота h равна:

h = 2√(p(p-a)(p-b)(p-c))/a}.

Эти примеры показывают, как можно найти высоту треугольника в различных ситуациях. Важно понимать, что метод зависит от типа треугольника и известных данных.