Чтобы понять, почему произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, нам нужно обратиться к фундаментальным принципам алгебры. Начнем с определения целых чисел и их свойств.
Целые числа образуют математическую структуру, называемую коммутативным кольцом. Это означает, что они обладают следующими свойствами:
Замкнутость относительно сложения и умножения
Ассоциативность сложения и умножения
Коммутативность сложения и умножения
Существование нуля как аддитивной единицы
Существование противоположных элементов для сложения
Дистрибутивность умножения относительно сложения
Теперь перейдем к доказательству. Оно состоит из нескольких шагов.
Шаг 1: Докажем, что 0 * a = 0 для любого целого числа a.
Доказательство:
0 * a = (0 + 0) * a (по свойству аддитивной единицы)
= 0 * a + 0 * a (по свойству дистрибутивности)
Вычтем 0 * a из обеих частей:
0 = 0 * a
Шаг 2: Докажем, что -1 * a = -a для любого целого числа a.
Доказательство:
-1 * a + a = -1 * a + 1 * a (по свойству мультипликативной единицы)
= (-1 + 1) * a (по свойству дистрибутивности)
= 0 * a (по определению противоположных элементов)
= 0 (по результату Шага 1)
Следовательно, -1 * a = -a
Шаг 3: Докажем, что (-a) * (-b) = a * b для любых целых чисел a и b.
Доказательство:
(-a) * (-b) = (-1 * a) * (-1 * b) (по результату Шага 2)
= (-1 * -1) * (a * b) (по свойству ассоциативности и коммутативности умножения)
Теперь нам нужно доказать, что -1 * -1 = 1
-1 * -1 = -(-1) (по результату Шага 2)
= 1 (по определению противоположного элемента)
Итак, мы доказали, что (-a) * (-b) = 1 * (a * b) = a * b
Таким образом, мы показали, что произведение двух отрицательных чисел всегда дает положительное число!