Сделал подборку заданий на тему «Разложение на множители».
Это базовая тема, которую необходимо освоить при углубленном изучении школьной алгебры.
С семиклассниками мы обычно решаем самые простые задания, с восьми- и девятиклассниками полностью всё прорабатываем, для десятиклассников это делаем по необходимости, с одиннадцатиклассниками используем некоторые задачи как разминку.
Для 7-9 классов это просто продвинутые задачи, для 10-11 классов – элемент подготовки на Перечневом уровне. Но обычно в старших классах школьники на таком уровне умеют решать большинство перечисленных задач. Поэтому мы чаще всего разбираем лишь пару-тройку незнакомых методов.
Всего в подборке четыре pdf-файла: два для разбора на занятии (один с заданиями, другой дополнен указаниями к решениям) и два для домашнего задания (один также с заданиями, другой дополнен указаниями к решениям).
Их я выложил в одноимённой группе ВК "Партизанская математика".
Сюда же я выкладываю содержание одного из этих файлов.
Если нужно проверить ответ, можно просто использовать Photomath. Тема достаточно счётная, поэтому под силу сторонним приложениям.
Во всех заданиях, где не прописано иное, требуется разложить на множители.
Всего получилось около 75 задач, в них охватываются все ключевые идеи.
Хотя задачи расположены последовательно от простого (даже простейшего) к сложному, на практике они могут показаться ученикам довольно монотонными. Мы так или иначе разбираем все задания, но иногда это делаем не подряд, а небольшими порциями в связке с другими темами. Тема «Разложение на множители» достаточно обширна, встречается сплошь и рядом, поэтому механики часто повторяются.
Ещё эти задания можно использовать в 7-9 классах, когда в конце учебного года все темы вроде пройдены, но хочется взглянуть на знакомое под другим углом.
БАЗОВЫЕ МЕТОДЫ
1. Простая группировка:
1) x⁴ + x³ + x + 1;
2) x⁵ − x³ + x² − 1;
3) m³ − m²n − mn² + n³;
4) (a + b − 2)(a + b) − (a − b)² + 1;
5) (a + b)(a − b)³ − (a − b)(a + b)³;
6) a³ − 8 + 6a² − 12a;
7) a² − b² − a + b;
8) a⁶ − a⁴ + 2a³ + 2a²;
9) x⁴ − x³ − x − 1;
10) a² + 2ab + b² − ac − bc;
11) a⁴ − 2a³ + a² − 1;
12) a(a + 2) − (b + 1)(b − 1);
13) x² + 2x − 9y² + 12y − 3;
14) 3x² − 4xy + y² + 4x − 4;
15) a² + b² + 3c² + 2ab + 4ac + 4bc;
16) a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c) − 4c²;
17) a⁶ − b⁶;
18) x³ − y³ + 3y² − 3y + 1;
19) x³ + 3x²y + 3xy² + 2y³;
20) 28a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
2. Разбиение слагаемого в трёхчлене:
1) x² + 6x + 8;
2) a² − 3ab − 10b²;
3) x³ + 3x² − 4.
3. Свертка в разность или сумму степеней:
1) x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1;
2) x⁴ + x² + 1;
3) Делится ли многочлен 1 + x² + x⁴ + ... + x²ⁿ⁻² на многочлен 1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹?
4) При каких n > 2 многочлен xⁿ + x² + 1 делится на x² + x + 1?
5) Докажите, что многочлен x⁴⁴ + x³³ + x²² + x¹¹ + 1 делится на x⁴ + x³ + x² + x + 1.
4. Добавить и вычесть средний член до полного квадрата:
1) x⁴ + 4y⁴;
2) x⁴ + x²y² + y⁴;
3) m⁴ + 2m² + 9.
5. Добавить и вычесть до суммы или разности кубов:
1) x⁵ + x + 1;
2) x⁴ + x³ + x² + 2;
3) 2x³ + x² + x − 1;
4) x¹⁰ + x⁵ + 1.
СИСТЕМНЫЕ МЕТОДЫ
6. Поиск корней и деление:
1) x³ + 6x² + 11x + 6;
2) x³ + 3x² − 4;
3) 2x³ + x² − 4x − 12;
7. С использованием замены:
1) x⁴ − 5x² + 4;
2) (x² + x − 1) (x² + 3x − 1) + x²;
3) Делится ли 2⁶² + 1 на 2³¹ + 2¹⁶+ 1 ?
8. Замена для двух неизвестных:
1) (a + b)(a + b + 2) − (a − b)(a − b − 2);
2) (x − y)³ + (y − z)³ + (z − x)³.
9. Через однородность:
1) a² − 7ab + 10b².
10. Через корни и дискриминант:
1) x² − 3xy + 2y² − 2x + 4y;
2) При некотором a выражение 2x² − xy − y² + 5x + 4y + a раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Найти это разложение и параметр а.
11. Метод неопределённых коэффициентов:
1) x⁴ + x³ + x² + x + 12.
12. Больше двух неизвестных:
1) x³ + y³ + z³ − (x + y + z)³;
2) (x − y + z)² − x² + y² − z²;
3) (x − y)³ + (y − z)³ + (z − x)³
4) x (y² − z²) + y (z² − x²) + z (x² − y²);
5) x(y − z)³ + y(z − x)³ + z(x − y)³;
6) (x + y)(y + z)(z + x) + xyz;
7) x(y + z)² + y(x + z)² + z(x + y)² − 4xyz;
8) x³ + y³ + z³ − 3xyz.
13. Прочее:
1) Найдите все значения a и b, при которых многочлен x⁴ + ax³ + bx² − 8x + 1 является квадратом квадратного трехчлена.
Источники:
1. «Сборник задач по алгебре» (П.А.Ларичев)
2. «Алгебра. 7 класс. Углубленный уровень» (А.Г.Мерзляк)
3. «Сборник задач по алгебре. 8-9 классы» (М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич)
4. «Алгебра. 7 класс» (В.В.Прасолов)
5. «Нестандартные задачи по математике. Алгебра. Пособие для учащихся 7-11 классов» (Е.В.Галкин)
6. Youtube-канал Cybermath.