Что такое симметрия относительно оси? (Задачи из ОГЭ).

Давайте разберем, что такое симметрия относительно оси, и как это понять на примерах.

Понятие симметрии относительно оси.

Симметрия относительно оси — это такое преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на противоположную сторону оси симметрии на такое же расстояние, на какое она была от оси до преобразования. В результате фигура как бы "отражается" относительно этой оси.

Пример с осью симметрии О𝑦.

Рассмотрим ось симметрии О𝑦 (вертикальная ось). Если у нас есть точка 𝐴(𝑥; 𝑦), то её отражение относительно оси О𝑦 будет точка 𝐴′(−𝑥; 𝑦). То есть, мы меняем знак у координаты 𝑥, а координата 𝑦 остаётся неизменной.

Пример 1.Пусть точка 𝐴 имеет координаты (3; 2). Найдём её отражение относительно оси 𝑦.

- Координаты точки 𝐴: (3; 2)

- Отражение относительно оси О𝑦: 𝐴′(−3; 2)

Пример с осью симметрии О𝑥.

 Теперь рассмотрим ось симметрии О𝑥 (горизонтальная ось). Если у нас есть точка 𝐵(𝑥; 𝑦), то её отражение относительно оси О𝑥 будет точка 𝐵′(𝑥; −𝑦). То есть, мы меняем знак у координаты 𝑦, а координата 𝑥 остаётся неизменной.

Пример 2. Пусть точка 𝐵 имеет координаты (4; −1). Найдём её отражение относительно оси О𝑥.

- Координаты точки 𝐵: (4; −1)

 - Отражение относительно оси О𝑥: 𝐵′(4; 1)

 Пример с диагональной осью симметрии 𝑦=𝑥.

 Рассмотрим ось симметрии 𝑦=𝑥. Если у нас есть точка 𝐶(𝑥; 𝑦), то её отражение относительно оси 𝑦=𝑥 будет точка 𝐶′(𝑦,𝑥). То есть, мы меняем местами координаты 𝑥

 и 𝑦.

Пример 3. Пусть точка 𝐶 имеет координаты (2; 5). Найдём её отражение относительно оси 𝑦=𝑥.

- Координаты точки 𝐶: (2; 5)

 - Отражение относительно оси 𝑦=𝑥: 𝐶′(5; 2)

 Пример с диагональной осью симметрии 𝑦=−𝑥.

 Рассмотрим ось симметрии 𝑦=−𝑥. Если у нас есть точка 𝐷(𝑥; 𝑦), то её отражение относительно оси 𝑦=−𝑥 будет точка 𝐷′(−𝑦,−𝑥). То есть, мы меняем местами координаты 𝑥 и 𝑦 и меняем их знаки.

Пример 4. Пусть точка 𝐷 имеет координаты (3; −4). Найдём её отражение относительно оси 𝑦=−𝑥.

- Координаты точки 𝐷: (3; −4)

 - Отражение относительно оси 𝑦=−𝑥: 𝐷′(4; −3)

Применение симметрии к фигурам.

Теперь давайте рассмотрим, как симметрия относительно оси применяется к фигурам. Например, у нас есть треугольник с вершинами 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 4)

 и 𝐶(5; 1). Найдём его отражение относительно оси О𝑦.

- Координаты точки 𝐴: (1; 2) → 𝐴′(−1; 2)

 - Координаты точки 𝐵: (3; 4) → 𝐵′(−3; 4)

 - Координаты точки 𝐶: (5; 1) → 𝐶′(−5; 1)

 Таким образом, треугольник с вершинами 𝐴(1; 2), 𝐵(3; 4) и 𝐶(5; 1)

 после отражения относительно оси О𝑦

 будет иметь вершины 𝐴′(−1; 2), 𝐵′(−3; 4)

 и 𝐶′(−5; 1).

Симметрия относительно оси — это важное понятие в геометрии, которое помогает понять, как фигуры и точки могут быть преобразованы. На примерах мы увидели, как находить отражения точек и фигур относительно различных осей симметрии. Это знание полезно не только для решения задач, но и для понимания многих геометрических свойств и закономерностей