Что такое повороты фигур? (Задачи из ОГЭ).

Давайте разберем, что такое повороты фигур, и как с ними работать на примерах. Повороты фигур — это один из видов геометрических преобразований, при котором фигура вращается вокруг определенной точки на плоскости на заданный угол.

Центр поворота — это точка, вокруг которой происходит вращение.

Угол поворота — это угол, на который поворачивается фигура. Он может быть задан в градусах и измеряется против часовой стрелки (если не указано иное).

Пример с простыми фигурами.

Рассмотрим простой пример с треугольником.

Пример 1. Поворот треугольника.

Исходные данные: треугольник ABC с координатами вершин A(1; 2), B(3; 4), C(5; 2). Центр поворота — точка O(0; 0). Угол поворота — 90 градусов против часовой стрелки.

Поворот на 90 градусов против часовой стрелки:

- Формула для поворота точки (x; y) на 90 градусов против часовой стрелки вокруг начала координат (0; 0):

(𝑥′; 𝑦′) = (−𝑦; 𝑥)

Применение формулы к каждой вершине:

- Для точки A(1; 2):

𝐴′(1; 2)→𝐴′(−2; 1)

- Для точки B(3; 4):

𝐵′(3; 4)→𝐵′(−4; 3)

- Для точки C(5; 2):

𝐶′(5; 2)→𝐶′(−2; 5)

Новые координаты вершин после поворота: A'(-2, 1), B'(-4, 3), C'(-2, 5)

Проверка результата.

Теперь давайте проверим, как выглядит наш треугольник после поворота. Мы можем нарисовать исходный треугольник и треугольник после поворота на координатной плоскости, чтобы убедиться, что все сделано правильно.

Поворот на другие углы.

Пример 2. Поворот на 180 градусов.

Исходные данные: тот же треугольник ABC с координатами вершин A(1; 2), B(3; 4), C(5; 2). Центр поворота — точка O(0; 0). Угол поворота — 180 градусов.

Поворот на 180 градусов:

- Формула для поворота точки (x; y) на 180 градусов вокруг начала координат (0; 0):

(𝑥′; 𝑦′)=(−𝑥; −𝑦)

Применение формулы к каждой вершине:

- Для точки A(1; 2):

𝐴′(1; 2)→𝐴′(−1; −2)

- Для точки B(3; 4):

𝐵′(3; 4)→𝐵′(−3; −4)

- Для точки C(5; 2):

𝐶′(5; 2)→𝐶′(−5; −2)

Новые координаты вершин после поворота: A'(-1; -2), B'(-3; -4), C'(-5; -2)

Теперь, когда мы разобрались с основными примерами, давайте попробуем решить задачу самостоятельно.

Задача для самостоятельного решения.

Исходные данные: квадрат со сторонами длиной 2 единицы, вершины которого находятся в точках A(1; 1), B(3; 1), C(3; 3), D(1; 3). Центр поворота — точка O(2; 2). Угол поворота — 90 градусов против часовой стрелки.

Решение:

- Найдите новые координаты каждой вершины после поворота на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки O(2; 2).

Повороты фигур — это важный аспект геометрии, который помогает понять, как фигуры могут изменять свое положение в пространстве. Практика с различными углами и центрами поворота поможет вам лучше понять этот процесс.